Question

17．有三张点数不同的扑克牌，随意分给甲、乙、丙每人一张，然后收起来洗牌之后再分给他们，这样分了n次之后，三人累计的点数：甲为16，乙为11，丙为24，已知甲第一次得到的牌是其中点数最大的一张，求这三张牌的点数各是多少？（说明：扑克牌的点数与牌面上的数字相同，对于“A“、“K“、“Q“、“J“，它们的点数分别是1，13，12，11．）

Answer 1

分析 设三张牌点数分别为a，b，c，且1≤c＜b＜a≤13，根据3人n次的牌面数字之和为51=3×17，且3张牌数字之和至少为6可得a+b+c=17，n=3；甲三次得的点数为a，x₂，x₃，则a+x₂+x₃=16＜17=a+b+c从而可得x₂=x₃=c，即a+2c=16，由乙得y₁，y₂，y₃及y₁≠a可得y₁+y₂+y₃=11＜16=a+c+c，即可知y₂=y₃=b，y₁=c，即c+2b=11，根据3张牌每张牌均出现3次可得2a+b=24，列出关于a、b、c的三元一次方程组，求解即可得．

解答 解：设三张牌点数分别为a，b，c，且1≤c＜b＜a≤13，
则n（a+b+c）=16+11+24=51=3×17，
又∵a+b+c≥3+2+1=6，则a+b+c=17，n=3，
甲三次得的点数为a，x₂，x₃，则a+x₂+x₃=16＜17=a+b+c，
∴x₂+x₃＜b+c，
∵b≠c，
∴x₂≠b，x₃≠b，
∴x₂=x₃=c，
由乙得y₁，y₂，y₃及y₁≠a可得y₁+y₂+y₃=11＜16=a+c+c，
∴y₂=y₃=b，y₁=c，
由三张纸牌各出现3次可得丙3次得到的纸牌为b、a、a，
根据题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{a+2c=16}\\{c+2b=11}\\{b+2a=24}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=10}\\{b=4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
答：这三张牌的点数分别是10、4、3．

点评 本题主要考查整数问题的综合运用，根据三人累计点数之和得出三张纸牌牌面数字之和与洗牌次数是解题的前提，甲第一次得到的牌是其中点数最大的一张是解题的突破点，逻辑推理是解题的关键．