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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,直线l与抛物线y=mx2+nx相交于A(1,3 ),B(4,0)两点.
(1)求出抛物线的解析式;
(2)在坐标轴上是否存在点D,使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,说明理由;
(3)点P是线段AB上一动点,(点P不与点A、B重合),过点P作PM∥OA,交第一象限内的抛物线于点M,过点M作MC⊥x轴于点C,交AB于点N,若△BCN、△PMN的面积SBCN、SPMN满足SBCN=2SPMN , 求出 的值,并求出此时点M的坐标.

【答案】
(1)

解:∵A(1,3 ),B(4,0)在抛物线y=mx2+nx的图象上,

,解得

∴抛物线解析式为y=﹣ x2+4 x


(2)

解:存在三个点满足题意,理由如下:

当点D在x轴上时,如图1,过点A作AD⊥x轴于点D,

∵A(1,3 ),

∴D坐标为(1,0);

当点D在y轴上时,设D(0,d),则AD2=1+(3 ﹣d)2,BD2=42+d2,且AB2=(4﹣1)2+(3 2=36,

∵△ABD是以AB为斜边的直角三角形,

∴AD2+BD2=AB2,即1+(3 ﹣d)2+42+d2=36,解得d=

∴D点坐标为(0, )或(0, );

综上可知存在满足条件的D点,其坐标为(1,0)或(0, )或(0, );


(3)

解:如图2,过P作PF⊥CM于点F,

∵PM∥OA,

∴Rt△ADO∽Rt△MFP,

=3

∴MF=3 PF,

在Rt△ABD中,BD=3,AD=3

∴tan∠ABD=

∴∠ABD=60°,设BC=a,则CN= a,

在Rt△PFN中,∠PNF=∠BNC=30°,

∴tan∠PNF= =

∴FN= PF,

∴MN=MF+FN=4 PF,

∵SBCN=2SPMN

a2=2× ×4 PF2

∴a=2 PF,

∴NC= a=2 PF,

=

∴MN= NC= × a= a,

∴MC=MN+NC=( + )a,

∴M点坐标为(4﹣a,( + )a),

又M点在抛物线上,代入可得﹣ (4﹣a)2+4 (4﹣a)=( + )a,

解得a=3﹣ 或a=0(舍去),

OC=4﹣a= +1,MC=2 +

∴点M的坐标为( +1,2 + ).


【解析】(1)由A、B两点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;
    (2)分D在x轴上和y轴上,当D在x轴上时,过A作AD⊥x轴,垂足D即为所求;当D点在y轴上时,设出D点坐标为(0,d),可分别表示出AD、BD,再利用勾股定理可得到关于d的方程,可求得d的值,从而可求得满足条件的D点坐标;
    (3)过P作PF⊥CM于点F,利用Rt△ADO∽Rt△MFP以及三角函数,可用PF分别表示出MF和NF,从而可表示出MN,设BC=a,则可用a表示出CN,再利用SBCN=2SPMN , 可用PF表示出a的值,从而可用PF表示出CN,可求得 的值;借助a可表示出M点的坐标,代入抛物线解析式可求得a的值,从而可求出M点的坐标.本题为二次函数的综合应用,涉及知识点有待定系数法、勾股定理、相似三角形的判定和性质、点与函数图象的关系及分类讨论等.在(2)中注意分点D在x轴和y轴上两种情况,在(3)中分别利用PF表示出MF和NC是解题的关键,注意构造三角形相似.本题涉及知识点较多,计算量较大,综合性较强,特别是第(3)问,难度很大.

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组号

分组

频数

6≤m<7

2

7≤m<8

7

8≤m<9

a

9≤m≤10

2


(1)求a的值;
(2)若用扇形图来描述,求分数在8≤m<9内所对应的扇形图的圆心角大小;
(3)将在第一组内的两名选手记为:A1、A2 , 在第四组内的两名选手记为:B1、B2 , 从第一组和第四组中随机选取2名选手进行调研座谈,求第一组至少有1名选手被选中的概率(用树状图或列表法列出所有可能结果).

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(2)在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P,使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
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