【题目】如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,直线l与抛物线y=mx2+nx相交于A(1,3 ),B(4,0)两点.
(1)求出抛物线的解析式;
(2)在坐标轴上是否存在点D,使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,说明理由;
(3)点P是线段AB上一动点,(点P不与点A、B重合),过点P作PM∥OA,交第一象限内的抛物线于点M,过点M作MC⊥x轴于点C,交AB于点N,若△BCN、△PMN的面积S△BCN、S△PMN满足S△BCN=2S△PMN , 求出 的值,并求出此时点M的坐标.
【答案】
(1)
解:∵A(1,3 ),B(4,0)在抛物线y=mx2+nx的图象上,
∴ ,解得 ,
∴抛物线解析式为y=﹣ x2+4 x
(2)
解:存在三个点满足题意,理由如下:
当点D在x轴上时,如图1,过点A作AD⊥x轴于点D,
∵A(1,3 ),
∴D坐标为(1,0);
当点D在y轴上时,设D(0,d),则AD2=1+(3 ﹣d)2,BD2=42+d2,且AB2=(4﹣1)2+(3 )2=36,
∵△ABD是以AB为斜边的直角三角形,
∴AD2+BD2=AB2,即1+(3 ﹣d)2+42+d2=36,解得d= ,
∴D点坐标为(0, )或(0, );
综上可知存在满足条件的D点,其坐标为(1,0)或(0, )或(0, );
(3)
解:如图2,过P作PF⊥CM于点F,
∵PM∥OA,
∴Rt△ADO∽Rt△MFP,
∴ =3 ,
∴MF=3 PF,
在Rt△ABD中,BD=3,AD=3 ,
∴tan∠ABD= ,
∴∠ABD=60°,设BC=a,则CN= a,
在Rt△PFN中,∠PNF=∠BNC=30°,
∴tan∠PNF= = ,
∴FN= PF,
∴MN=MF+FN=4 PF,
∵S△BCN=2S△PMN,
∴ a2=2× ×4 PF2,
∴a=2 PF,
∴NC= a=2 PF,
∴ = ,
∴MN= NC= × a= a,
∴MC=MN+NC=( + )a,
∴M点坐标为(4﹣a,( + )a),
又M点在抛物线上,代入可得﹣ (4﹣a)2+4 (4﹣a)=( + )a,
解得a=3﹣ 或a=0(舍去),
OC=4﹣a= +1,MC=2 + ,
∴点M的坐标为( +1,2 + ).
【解析】(1)由A、B两点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;
(2)分D在x轴上和y轴上,当D在x轴上时,过A作AD⊥x轴,垂足D即为所求;当D点在y轴上时,设出D点坐标为(0,d),可分别表示出AD、BD,再利用勾股定理可得到关于d的方程,可求得d的值,从而可求得满足条件的D点坐标;
(3)过P作PF⊥CM于点F,利用Rt△ADO∽Rt△MFP以及三角函数,可用PF分别表示出MF和NF,从而可表示出MN,设BC=a,则可用a表示出CN,再利用S△BCN=2S△PMN , 可用PF表示出a的值,从而可用PF表示出CN,可求得 的值;借助a可表示出M点的坐标,代入抛物线解析式可求得a的值,从而可求出M点的坐标.本题为二次函数的综合应用,涉及知识点有待定系数法、勾股定理、相似三角形的判定和性质、点与函数图象的关系及分类讨论等.在(2)中注意分点D在x轴和y轴上两种情况,在(3)中分别利用PF表示出MF和NC是解题的关键,注意构造三角形相似.本题涉及知识点较多,计算量较大,综合性较强,特别是第(3)问,难度很大.
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【题目】在直线L上依次摆放着七个正方形,已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4 , 则S1+2S2+2S3+S4=()
A. 5 B. 4 C. 6 D. 10
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【题目】某校在践行“社会主义核心价值观”演讲比赛中,对名列前20名的选手的综合分数m进行分组统计,结果如表所示:
组号 | 分组 | 频数 |
一 | 6≤m<7 | 2 |
二 | 7≤m<8 | 7 |
三 | 8≤m<9 | a |
四 | 9≤m≤10 | 2 |
(1)求a的值;
(2)若用扇形图来描述,求分数在8≤m<9内所对应的扇形图的圆心角大小;
(3)将在第一组内的两名选手记为:A1、A2 , 在第四组内的两名选手记为:B1、B2 , 从第一组和第四组中随机选取2名选手进行调研座谈,求第一组至少有1名选手被选中的概率(用树状图或列表法列出所有可能结果).
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【题目】如图,△ABC 中,AB=AC,BD 平分∠ABC 交 AC 于 G,DM//BC 交∠ABC 的外角平分线于 M, 交 AB、AC 于 F、E,下列结论:①MB⊥BD;②FD=FB;③MD=2CE. 其中一定正确的有( )
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
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【题目】已知如图,在平面直角坐标系xOy中,点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点,且OA=1,OB=3,OC=4,
(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P,使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若点M为该抛物线上一动点,在(2)的条件下,请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标,并直接写出|PM﹣AM|的最大值.
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【题目】如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,AE 是 BC 边的中线,过点C 作 CF⊥AE,垂足为点 F,过点 B 作 BD⊥BC 交 CF 的延长线于点 D.
(1)试证明:AE=CD;
(2)若 AC=12cm,求线段 BD 的长度.
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【题目】已知Rt△ABC中,∠B=90°,AC=20,AB=10,P是边AC上一点(不包括端点A、C),过点P作PE⊥BC于点E,过点E作EF∥AC,交AB于点F.设PC=x,
PE=y.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)是否存在点P使△PEF是Rt△?若存在,求此时的x的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E.
(1)若AC=12,BC=15,求△ABD的周长;
(2)若∠B=20°,求∠BAD的度数.
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