Question

1．如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，且FD=FA．
（1）求证：∠B=∠CAE；
（2）证明：AB=2AC；
（3）若FD=6，EF=8，求S_△ABD的值．

Answer 1

分析 （1）根据直径所对的圆周角是直角得：∠DFE=90°，则EF是AD的中垂线，由中垂线性质得AE=DE，再由等边对等角可得：∠ADE=∠DAE，因此由外角定理和角平分线性质可得结论；
（2）证明△ACE∽△BAE，根据对应边的比可得AB=2AC；
（3）根据中线将三角形分成了两个面积相等的三角形得：S_△DEF=S_△AFE=S_△ACD=S_△ACE=$\frac{1}{2}$S_△ADE，再根据已知条件求出直角△DEF的面积，并由（2）的△ACE∽△BAE，相似比为1：2得出面积比为1：4，求出△BAE的面积，从而得出结论．

解答 证明：（1）∵DE是⊙C的直径，
∴∠DFE=90°，
∵FD=AF，
∴EF是AD的中垂线，
∴AE=DE，
∴∠ADE=∠DAE，
∵∠ADE=∠B+∠BAD，∠DAE=∠DAC+∠CAE，
∴∠B+∠BAD=∠DAC+∠CAE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∴∠B=∠CAE；
（2）∵∠B=∠CAE，∠AEC=∠BAE，
∴△ACE∽△BAE，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{EC}{AE}$，
∵AE=DE=2EC，
∴$\frac{EC}{AE}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{1}{2}$，
∴AB=2AC；
（3）∵FD=AF，
∴S_△DEF=S_△AFE，
∵DF=6，EF=8，∠DFE=90°，
∴S_△DEF=$\frac{1}{2}$×6×8=24，
∴S_△ADE=2S_△DEF=2×24=48，
∵DC=CE，
∴S_△ACD=S_△ACE=$\frac{1}{2}$S_△ADE=24，
由（2）得△ACE∽△BAE，且$\frac{AC}{AB}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{S}_{△ACE}}{{S}_{△BAE}}$=$\frac{1}{4}$，
∴S_△BAE=4×24=96，
∴S_△ABD=S_△ABE-S_△ADE=96-48=48．

点评 本题考查了相似三角形、等腰三角形的性质和判定，并圆的性质相结合；熟知半圆（或直径）所对的圆周角是直角，同时在求面积时，利用了中线平分三角形面积的性质，这在几何面积问题的计算中经常运用，要熟练掌握．