Question

如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的点，且AP=AC．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）若AC=3，求PD的长．

Answer 1

（1）证明：连接OA，
∵∠B=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°，
∵OA=OC，
∴∠ACP=∠CAO=30°，
∴∠AOP=60°，
又∵AP=AC，
∴∠P=∠ACP=30°，
∴∠OAP=90°，
即OA⊥AP，
∵点O在⊙O上，
∴AP是⊙O的切线．

（2）连接AD，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD=90°，
∴AD=AC?tan30°=

3

，CD=2AD=2

3

，
∴DO=AO=

1

2

CD=

3

，
在Rt△PAO中，由勾股定理得：PA²+AO²=PO²，
∴3²+（

3

）²=（PD+

3

）²，
∵PD的值为正数，
∴PD=

3

．