Question

已知反比例函数y＝(k≠0)和一次函数y＝－x＋8．

(1)若一次函数与反比例函数的图像交于点(4，m)，求m和k；

(2)k满足什么条件时，这两个函数图像有两个不同的交点？

(3)设(2)中的两个交点为A、B，试判断∠AOB是锐角还是钝角？

Answer 1

答案：
解析：

(1)根据数形结合思想，将点(4，m)代入y＝－x＋8，得： m＝－4＋8＝4， ∴k＝xy＝4×4＝16． (2)若两个函数相交，则交点坐标可由方程组求得． 联立解得：－x＋8＝， 即－x2＋8x＝k，x2－8x＋k＝0． 要使两个函数有两个不同的交点，则方程x2－8x＋k＝0应有两个不相同的根，也就是△＞0， 即：△＝(－8)2－4×1×k＝64－4k＞0， ∴k＜16． ∴要使两个函数图像有两个不同的交点，k应满足k＜16，且k≠0． (3)如下图(1)所示， 当0＜k＜16时，y＝的图像在第一、三象限，它与y＝－x＋8的两个交点A、B都在第一象限内，这时∠AOB是锐角(＜90°)． 当k＜0时，如下图(2)所示，y＝的图像在第二、四象限，它与y＝－x＋8的两个交点A、B分别在第二、四象限，这时∠AOB是钝角(＞90°)．

提示：

此题第(2)问是“探求条件型”开放题．第(3)问则是“探索结论型”开放题．第(2)问只要将两个函数的图像有两个不同的交点问题转化为求对应的方程组有两个不同的解的问题，而第(3)问则要分类讨论．