Question

15．如图，在矩形ABCD中，AD=$\sqrt{2}$AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连结BH并延长并CD于点F，连结DE交BF于点O，下列结论：
①∠AED=∠CED；
②OE=OD；
③AB=HF；
④BC-CF=2HE；
⑤BH=HF，
其中正确的序号有①②④⑤．

Answer 1

分析 ①根据角平分线的定义可得∠BAE=∠DAE=45°，然后利用求出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AE=$\sqrt{2}$AB，从而得到AE=AD，然后证得△ABE≌△AHD全等，即可得BE=DH，继而求得∠CED=67.5°；
②求出∠AHB=67.5°，∠DHO=∠ODH=22.5°，然后根据等角对等边可得OE=OD=OH；
③求出∠EBH=∠OHD=22.5°，∠AEB=∠HDF=45°，即可证得△BEH≌△HDF，则可得BH=HF；
④根据全等三角形对应边相等可得DF=HE，然后根据HE=AE-AH=BC-CD，BC-CF=BC-（CD-DF）=2HE；
⑤判断出△ABH不是等边三角形，从而得到AB≠BH，则可得AB≠HF．

解答 解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=$\sqrt{2}$AB，
∵AD=$\sqrt{2}$AB，
∴AE=AD，
在△ABE和△AHD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠DAE}\\{∠ABE=∠AHD=90°}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△AHD（AAS），
∴BE=DH，
∴AB=BE=AH=HD，
∴∠ADE=∠AED=$\frac{1}{2}$（180°-45°）=67.5°，
∴∠CED=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠AED=∠CED，故①正确；
∵∠AHB=$\frac{1}{2}$（180°-45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB，
∴∠OHE=∠AED，
∴OE=OH，
∵∠DOH=90°-67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°-45°=22.5°，
∴∠DOH=∠ODH，
∴OH=OD，
∴OE=OD=OH，故②正确；
∵∠EBH=90°-67.5°=22.5°，
∴∠EBH=∠OHD，
又∵BE=DH，∠AEB=∠HDF=45°
在△BEH和△HDF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBH=∠OHD}\\{BE=DH}\\{∠AEB=∠HDF}\end{array}\right.$，
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH=HF，HE=DF，故⑤正确；
由上述①、②、③可得CD=BE、DF=EH=CE，CF=CD-DF，
∴BC-CF=（CD+HE）-（CD-HE）=2HE，故④正确；
∵AB=AH，∠BAE=45°，
∴△ABH不是等边三角形，
∴AB≠BH，
∴即AB≠HF，故③错误；
综上所述，结论正确的是①②④⑤．
故答案为：①②④⑤．

点评 此题属于四边形的综合题．考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义以及等腰三角形的判定与性质．注意证得△ABE≌△AHD与△BEH≌△HDF是解此题的关键．