Question

如图一，已知点P是边长为a的等边△ABC内任意一点，点P到三边的距离PD、PE、PF的长分别记为h₁，h₂，h₃，则h₁，h₂，h₃之间有什么关系呢？
分析：连接PA、PB、PC，则△ABC被分割成三个三角形，根据：
S_△PAB+S_△PBC+S_△PAC=S_△ABC，即：，可得．
问题1：若点P是边长为a的等边△ABC外一点（如图二所示位置），点P到三边的距离PD、PE、PF的长分别记为h₁，h₂，h₃．探索h₁，h₂，h₃之间有什么关系呢？并证明你的结论；
问题2：如图三，正方形ABCD的边长为a，点P是BC边上任意一点（可与B、C重合），B、C、D三点到射线AP的距离分别是h₁，h₂，h₃，设h₁+h₂+h₃=y，线段AP=x，求y与x的函数关系式，并求y的最大值与最小值．

Answer 1

解：问题1：h₁+h₂-h₃=
理由：连接PA、PB、PC
∵PE⊥BC，PD⊥BA，且△ABC是边长为a的等边三角形
∴S_△PAB=，S_△PBC=
∴S_{四边形ABCP}=S_△PAB+S_△PBC=+
又∵S_{四边形ABCP}=S_△APC+S_△ABC=
∴+=即：h₁+h₂-h₃=；


问题2：连接DP、AC
易求：S_△APB+S_△ADP+S_△ACP=
易证：S_△DCP=S_△ACP（同底等高）
而S_{正方形ABCD}=S_△APB+S_△ADP+S_△DCP
∴
∴y=（a≤x≤a）
∵2a²＞0
∴y随x的增大而减少
∴当x=a时，y_最小=a，当x=a时，y_最大=2a．
分析：（1）探索h₁，h₂，h₃之间的关系，可以根据等量关系S_{四边形ABCP}=S_△APC+S_△ABC得出等式，解决问题；
（2）连接DP、AC，可知S_{四边形ABCP}=S_△APB+S_△ADP+S_△DCP，∵S_△DCP=S_△ACP，即S_{四边形ABCP}=S_△APB+S_△ADP+S_△ACP的等量关系，列出方程，得到y与x的函数关系式，按照自变量的取值范围求出y的最大值与最小值．
点评：此题是一个综合性很强的题目，主要考查等边三角形的性质、解反比例函数等知识．难度较大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．