Question

17．设抛物线y=x²-2014x+2015与x轴的两个交点作标为（a，0），（b，0），则（a²-20145a+2015）（b²-2015b+2015）的值为2015．

Answer 1

分析 根据抛物线与x轴的交点问题得到a、b为x²-2014x+2015=0的两根，由一元二次方程解的定义得到a²-2014a+2015=0，b²-2014b+2015=0，即a²=2014a-2015，b²=2014b-2015，于是（a²-2015a+2015）（b²-2015b+2015）可化简为ab，然后根据根与系数的关系求解．

解答 解：∵抛物线y=x²-2014x+2015与x轴的两个交点作标为（a，0），（b，0），
∴a、b为x²-2014x+2015=0的两根，
∴a²-2014a+2015=0，b²-2014b+2015=0，
∴a²=2014a-2015，b²=2014b-2015，
∴（a²-2015a+2015）（b²-2015b+2015）=（2014a-2015-2015a+2015）（2014b-2015-2015b+2015）
=（-a）•（-b）
=ab，
∵a、b为x²-2014x+2015=0的两根，
∴ab=2015，
∴（a²-2015a+2015）（b²-2015b+2015）=2015．
故答案为2015．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．解决此类问题的关键是把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为求方程ax²+bx+c=0的解的问题．也考查了一元二次方程解的定义和根与系数的关系．