Question

请观察下列式子：3²-1²=8=8×1；5²-3²=16=8×2；7²-5²=24=8×3；9²-7²=32=8×4；11²-9²=40=8×5；
（1）从以上的过程中，你发现了什么规律？请用文字叙述；
（2）写出用正整数n表示一般规律的等式，并验证你所得到的结论．

Answer 1

解：（1）两个连续奇数的平方差是8的整数倍．
（2n+1）²-（2n-1）²=8n．

（2）∵（2n+1）²-（2n-1）²=4n²+4n+1-4n²+4n-1=8n
∴（2n+1）²-（2n-1）²=8n成立．
分析：从式子的左边分析，2个连续奇数的平方，大奇数的平方减去小的平方；从等式右边知道变化数n是自然数，8是不变数．
点评：从变化的数字n中得到通式8n，本题的难点在于等式左边的式子的归纳即：（2n+1）²-（2n-1）²．