Question

11．如下图所示，将长方形ABCD的一角折起来，使得B点和E点重合，而通过E点可以将AD边3等分．求FG的长度．

Answer 1

分析 由矩形的性质得出AD=BC=9cm，∠A=∠B=90°，由折叠的性质得：EF=BF，EG=BG，∠GEF=∠B=90°，设EF=BF=x，则AF=AB-BF=5-x，在Rt△AEF中，由勾股定理得出方程，解方程求出BF=EF=$\frac{17}{5}$cm，AF=$\frac{8}{5}$cm，作GM⊥AD于M，则MG=AB=5cm，证明△MGE∽△AEF，得出对应边成比例求出EG，再由勾股定理求出FG即可．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=9cm，∠A=∠B=90°，
∵E是AD的三等分点，
∴AE=3cm，
由折叠的性质得：EF=BF，EG=BG，∠GEF=∠B=90°，
设EF=BF=x，则AF=AB-BF=5-x，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：3²+（5-x）²=x²，
解得：x=$\frac{17}{5}$，
∴BF=EF=$\frac{17}{5}$cm，AF=$\frac{8}{5}$cm，
作GM⊥AD于M，则MG=AB=5cm，∠GME=90°=∠A，
∴∠GEM+∠EGM=90°，
∵∠GEM+∠AEF=90°，
∴∠EGM=∠AEF，
∴△MGE∽△AEF，
∴$\frac{EG}{EF}=\frac{MG}{AE}$，即$\frac{EG}{\frac{17}{5}}=\frac{5}{3}$，
解得：EG=$\frac{17}{3}$cm，
∴BG=EG=$\frac{17}{3}$cm，
∴FG=$\sqrt{B{F}^{2}+B{G}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{17}{5}）^{2}+（\frac{17}{3}）^{2}}$=$\frac{17\sqrt{34}}{15}$．

点评 本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握矩形和翻折变换的性质，由勾股定理求出BF是解决问题的关键．