【题目】如图,矩形ABCD 中,AD=4cm,AB=6cm,动点 E从 B向A运动,速度为每秒2cm;同时,动点F从 C向B运动,速度为每秒3cm;任意一点到达终点后,两点都停止运动。连接CE、DF交于点P,连接BP,
(1)求证:△EBC ∽ △FCD
(2)BP最小值是多少?此时点F运动了多少秒?
(3)在该运动过程中, tan∠PAD的最大值是多少?
【答案】(1)详见解析;(2)BP最小值是2,此时点F运动了1秒;(3)最大值为
【解析】
(1)根据点E、F的运动速度可得,易证△EBC ∽ △FCD;
(2)由(1)可得∠DPC=90°,推出点P落在以CD为直径的圆弧上,当点B、P、G共线时,BP取最小值,此时可求出BP;作GH∥BC,利用相似三角形△BFP∽△GHP,可求出t.
(3)在运动过程中,∠PAD的角度逐渐变大,所以当F运动到B点时,tan∠PAD最大,过点P作MN∥AB,由△BPC∽△CPD,△BNP∽△DMP和△BNP∽△BCD,利用对应边成比例可求出此时PM、BN的长度,易得tan∠PAD.
解:(1)设运动时间为t,则BE=2t,CF=3t,
∴,
又∵∠EBC=∠FCD=90°,
∴△EBC∽△FCD;
(2)∵△EBC∽△FCD,
∴∠ECB=∠FDC,
∵∠FDC+∠DFC=90°,
∴∠ECB+∠DFC=90°,
∴∠FPC=90°,即∠DPC=90°,
故点P落在以CD为直径的圆弧上,如图1,
令CD中点为G,运动时间为t,
∴当点B、P、G共线时,BP取最小值,
∴CG=,
∴BG=,
∴BP=BG-GP=5-3=2,
作GH∥BC,
则△BFP∽△GHP,GH=,BF=4-3t,
∴,即,
解得:t=1;
(3)根据题意可知,在运动过程中,∠PAD的角度逐渐变大,
∴当F运动到B点时,tan∠PAD最大,
如图2,过点P作MN∥AB,
由∠BPC=90°易证△BPC∽△CPD,
∴,
设BP=2a,则PC=3a,PD=,
∵AD∥BC,
∴△BNP∽△DMP,
∴,
∴PM=,
由△BNP∽△BCD,可得,
∴BN=,
∴tan∠PAD=.
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【题目】如图,一艘巡逻艇航行至海面B处时,得知正北方向上距B处20海里的C处有一渔船发生故障,就立即指挥港口A处的救援艇前往C处营救.已知C处位于A处的北偏东45°的方向上,港口A位于B的北偏西30°的方向上.求A、C之间的距离.(结果精确到0.1海里,参考数据)( )
A. 7.3海里B. 10.3海里C. 17.3海里D. 27.3海里
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【题目】(3分)如图,正方形ABCD的边长为3cm,动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动,到达A点停止运动;另一动点Q同时从B点出发,以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动,到达A点停止运动.设P点运动时间为x(s),△BPQ的面积为y(cm2),则y关于x的函数图象是( )
A. B. C. D.
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【题目】如图, 抛物线与轴交于点A(-1,0),顶点坐标(1,n)与轴的交点在(0,2),(0,3)之间(包 含端点),则下列结论:①;②;③对于任意实数m,总成立;④关于的方程有两个不相等的实数根.其中结论正确的个数为
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
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【题目】我校九年级数学兴趣小组的同学调查了若干名同学对“初中学生不穿校服上学”现象的看法,统计整理并制作了如下的条形与扇形统计图(图1)。
依据图中信息,完成下列结论:
(1)接受这次调查的同学人数为 人;
(2)在扇形统计图中,“无所谓”的同学部分所对应的扇形圆心角大小为 °;
(3)表示“很赞同”的同学人数为 人;
(4)我校目前有在校学生约2000人,估计不赞同和无所谓“初中生不穿校服上学”的一共有多少人?
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,点C、D分别是半圆AB的三等分点,AB=4,点P自A点出发,沿弧ABC向C点运动,T为△PAC的内心.当点P运动到使BT最短时就停止运动,点T运动的路径长为_____
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【题目】第 24 届冬奥会将于 2022 年在北京和张家口举行,冬奥会的项目有滑雪(如跳台滑雪、高山滑雪、单板滑雪等)、滑冰(如短道速滑、速度滑冰、花样滑冰等)、冰球、冰壶等.如图,有 5 张形状、大小、质地均相同的卡片,正面分别印有高山滑雪、速度滑冰、冰球、单板滑雪、冰壶五种不同的图案,背面完全相同.现将这 5 张卡片洗匀后正面向下放在桌子上,从中随机抽取一张,抽出的卡片正面恰好是滑雪项目图案的概率是( )
A. B. C. D.
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【题目】如图①,在矩形中,动点从点出发,以2cm/s的速度沿向终点移动,设移动时间为t(s).连接,以为一边作正方形,连接、.设的面积为(cm2). 与t之间的函数关系如图②所示.
(1) cm, cm;
(2) 点从点到点的移动过程中,点的路径是_________________ cm.
(3)当为何值时,的面积最小?并求出这个最小值;
(4) 当为何值时,为等腰三角形?请直接写出结果。
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【题目】如图,AB是半圆O的直径,D为半圆上的点,在BA延长线上取点C,使得DC=DO,连结CD并延长交圆O于点E,连结AE,若∠C=18°,则∠EAB的度数为( )
A. 18°B. 21°C. 27°D. 36°
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