Question

14．已知点a（3，4），点B为直线x=-1上的动点，设B（-1，y）．
（1）如图1，若点C（x，0）且-1＜x＜3，BC⊥AC，求两个坐标间y与x之间的函数关系式．
（2）在（1）的条件下，Y是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由．
（3）如图2，若点B的坐标为（-1，1）．在x轴上另取点E，则当点E在x轴上的什么位置时，△ABE的周长最小？求出此时点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）过点A作AE⊥x轴于点E，证得△BCD与△CAE相似，利用相似三角形的对应边成比例得到y与x的函数关系式即可；
（2）将（1）中的二次函数关系式转化为顶点式，结合函数图象解答；
（3）根据“轴对称的性质”找到点E：过点A作x轴的对称点A′．当点B、E与点A′共线时，BE+AE=BE+A′E=A′B最小．由对称的性质可得到：A′（3，-4）．求出直线A′B的解析式，以及它与x轴的交点，得到点E的坐标．

解答 解：（1）过点A作AE⊥x轴于点E．在△BCD与△CAE中，
∵∠BCD=∠CAE=90°-∠ACE，∠BDC=∠CEA=90°，
∴△BCD∽△CAE，
∴BD：CE=CD：AE，
∵A（3，4），B（-1，y），C（x，0）且-1＜x＜3，
∴y：（3-x）=（x+1）：4，
∴y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{4}$（-1＜x＜3）．

（2）在（1）的条件下，y有最大值．理由如下：
y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{4}$=-$\frac{1}{4}$（x-1）²+1（-1＜x＜3）．
所以对称轴为x=1，
当x=1时，y_最大值=1．

（3）△ABE的周长=AB+BE+EA，线段AB始终保持不变．
故当BE+EA最小时，△ABE的周长最小，
如图2，过点A作x轴的对称点A′．当点B、E与点A′共线时，BE+AE=BE+A′E=A′B最小．
由对称的性质可得到：A′（3，-4）．
设直线BA′的解析式为y=kx+b（k≠0）．
则$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=1}\\{3k+b=-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{5}{4}}\\{b=-\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
所以，直线BA′的解析式为y=-$\frac{5}{4}$x-$\frac{1}{4}$．
当y=0时，x=-$\frac{1}{5}$，
故点E的坐标为（-$\frac{1}{5}$，0）．

点评 本题综合考查了一次函数、二次函数、相似三角形的判定和性质，掌握二次函数最大值的求法、待定系数法求一次函数解析式和相似三角形的判定和性质是解题的关键．