Question

如图，在△ABC中，∠A=60°，O，I，H分别是它的外心，内心，垂心．试比较△ABC的外接圆与△IOH的外接圆的大小，证明你的论断．

Answer 1

解：△ABC的外接圆与△IOH的外接圆的大小相等．
理由：作O关于BC的对称点O′，连接BO、BI、BH、BO′、CO、CI、CH、CO′，
（1）由三角形外心、内心、垂心的张角公式可知，
∠BOC=2∠A=120°，
∠BIC=90°+∠A=120°，∠BHC=180°-∠A=120°，
则B、C、H、I、O五点共圆，即△IOH的外接圆与△OBC的外接圆是同一个圆；

（2）由轴对称可知∠BO′C=∠BOC=120°，
∠A+∠BO′C=180°，
则A、B、O′、C四点共圆，即△O′BC的外接圆与△ABC的外接圆是同一个圆；

（3）由对称性可证△OBC≌△O′BC，即△OBC的外接圆与△O′BC的外接圆相等；
由（1）-（3）得△ABC的外接圆与△IOH的外接圆相等．
分析：（1）由三角形外心、内心、垂心的张角公式可求∠BOC=∠BIC=∠BHC=120°，可证B、C、H、I、O五点共圆，即△IOH的外接圆与△OBC的外接圆是同一个圆；
（2）由轴对称可知∠BO′C=∠BOC=120°，则∠A+∠BO′C=180°，可证A、B、O′、C四点共圆，即△O′BC的外接圆与△ABC的外接圆是同一个圆；
（3）由对称性可证△OBC≌△O′BC，即△OBC的外接圆与△O′BC的外接圆相等；
综合（1）（2）（3）可证本题结论．
点评：本题考查了三角形外心、内心、垂心的性质．关键是根据题意找出四点共圆，五点共圆，判断三角形共圆，利用“传递”的方法证明本题结论．