Question

【题目】（12分）阅读资料：

如图1，在平面之间坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），由勾股定理得AB2=|x2﹣x1|2+|y2﹣y1|2，所以A，B两点间的距离为AB=．

我们知道，圆可以看成到圆心距离等于半径的点的集合，如图2，在平面直角坐标系xoy中，A（x，y）为圆上任意一点，则A到原点的距离的平方为OA2=|x﹣0|2+|y﹣0|2，当⊙O的半径为r时，⊙O的方程可写为：x2+y2=r2．

问题拓展：如果圆心坐标为P（a，b），半径为r，那么⊙P的方程可以写为 ．

综合应用：

如图3，⊙P与x轴相切于原点O，P点坐标为（0，6），A是⊙P上一点，连接OA，使tan∠POA=，作PD⊥OA，垂足为D，延长PD交x轴于点B，连接AB．

①证明AB是⊙P的切点；

②是否存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q？若存在，求Q点坐标，并写出以Q为圆心，以OQ为半径的⊙O的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】问题拓展：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2综合应用：①见解析②点Q的坐标为（4，3），方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2=25．

【解析】

试题问题拓展：设A（x，y）为⊙P上任意一点，则有AP=r，根据阅读材料中的两点之间距离公式即可求出⊙P的方程；

综合应用：①由PO=PA，PD⊥OA可得∠OPD=∠APD，从而可证到△POB≌△PAB，则有∠POB=∠PAB．由⊙P与x轴相切于原点O可得∠POB=90°，即可得到∠PAB=90°，由此可得AB是⊙P的切线；

②当点Q在线段BP中点时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得QO=QP=BQ=AQ．易证∠OBP=∠POA，则有tan∠OBP==．由P点坐标可求出OP、OB．过点Q作QH⊥OB于H，易证△BHQ∽△BOP，根据相似三角形的性质可求出QH、BH，进而求出OH，就可得到点Q的坐标，然后运用问题拓展中的结论就可解决问题．

试题解析：解：问题拓展：设A（x，y）为⊙P上任意一点，

∵P（a，b），半径为r，

∴AP2=（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2．

故答案为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2；

综合应用：

①∵PO=PA，PD⊥OA，

∴∠OPD=∠APD．

在△POB和△PAB中，

，

∴△POB≌△PAB，

∴∠POB=∠PAB．

∵⊙P与x轴相切于原点O，

∴∠POB=90°，

∴∠PAB=90°，

∴AB是⊙P的切线；

②存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q．

当点Q在线段BP中点时，

∵∠POB=∠PAB=90°，

∴QO=QP=BQ=AQ．

此时点Q到四点O，P，A，B距离都相等．

∵∠POB=90°，OA⊥PB，

∴∠OBP=90°﹣∠DOB=∠POA，

∴tan∠OBP==tan∠POA=．

∵P点坐标为（0，6），

∴OP=6，OB=OP=8．

过点Q作QH⊥OB于H，如图3，

则有∠QHB=∠POB=90°，

∴QH∥PO，

∴△BHQ∽△BOP，

∴===，

∴QH=OP=3，BH=OB=4，

∴OH=8﹣4=4，

∴点Q的坐标为（4，3），

∴OQ==5，

∴以Q为圆心，以OQ为半径的⊙O的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2=25．