Question

【题目】如图，一次函数y＝kx+b和反比例函数的图象相交于A（2，4）、B（﹣1，n）两点，一次函数的图象交x轴于点D．

（1）直接写出一次函数与反比例函数的解析式．

（2）请结合函数图象，直接写出不等式的解集．

（3）过点A作直线AC⊥x轴，垂足为点C，过点B的直线交x轴于点E，交直线AC于点F，若△ECF∽△ACD，求点E的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y、y＝4x﹣4；（2）x＜﹣1或0＜x＜2；（3）点E坐标为（31，0）或（﹣33，0）．

【解析】

（1）把点A坐标代入可求出m的值，即可得出反比例函数的解析式，并B（-1，n）代入反比例函数解析式可得n的值，即可得出B点坐标，把A、B两点坐标代入y=kx+b可求出k、b的值，即可得一次函数解析式；（2）根据A、B坐标，结合图象即可得出不等式的解集；（3）过点B作BM⊥x轴于点M，根据一次函数的解析式可求出D点坐标，根据A、B、D三点坐标可得AC＝4，OC＝2，OM＝1，BM＝8，OD＝1，CD＝1，由AC⊥x轴，BM⊥x轴可得△ECF∽△EMB，即可证明△ACD∽△EMB，根据相似三角形的性质可求出EM的长，即可求出OE的长，进而可得E点坐标.

（1）把点A（2，4）代入反比例函数表达式得：m＝8，

∴反比例函数的解析式为：y，

∵点B（-1，n）在反比例函数上，

∴n==-8.

∴点B（﹣1，﹣8），

将点A、B的坐标代入一次函数表达式得：，

解得：，

∴一次函数的解析式为：y＝4x﹣4.

（2）∵A(2，4)，B(-1，-8)

∴由图象可以看出不等式的解集为：x＜﹣1或0＜x＜2；

（3）过点B作BM⊥x轴于点M，

∵点A（2，4）、B（-1，-8）

∴AC＝4，OC＝2，OM＝1，BM＝8，

∵y＝4x﹣4与x轴交于点D，

∴当y＝0时，x＝1，即D（1，0）

∴OD＝1，CD＝1，

∵AC⊥x轴，BM⊥x轴，

∴△ECF∽△EMB，

∵△ECF∽△ACD，

∴△ACD∽△EMB，

∴，即：，

∴EM＝32，

∴OE＝31或33，

点E坐标为（31，0）或（﹣33，0）．