Question

20．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，取EF的中点G，连接CG，BG，BD，DG，下列结论：
①BE=CD；
②∠DGF=135°；
③△BEG≌△DCG；
④∠ABG+∠ADG=180°；
⑤若$\frac{AB}{AD}$=$\frac{2}{3}$，则3S_△BDG=13S_△DGF．
其中正确的结论是①③④⑤．（请填写所有正确结论的序号）

Answer 1

分析 ①根据矩形的性质可得出∠BAD=∠ABC=90°，AB=CD，再由角平分线的性质可得出∠BAE=45°，通过角的计算即可得出∠BAE=∠BEA，从而得出AB=BE=CD，即①正确；②根据平行线的性质以及对顶角相等可得出△CEF为等腰直角三角形，由此得出∠CGF=90°，∠FCG=45°，根据三角形外角的性质可得出∠CGD＜45°，再由角的关系即可得出∠DGF=∠CGD+∠CGF＜135°，即②不正确；③通过角的计算可得出∠BEG=∠DCG，再根据等腰直角三角形的性质可得出CG=EG，由此即可利用全等三角形的判定定理（SAS）证出△BEG≌△DCG，即③正确；④由③可得出∠EBG=∠CDG，根据角的计算即可得出∠ABG+∠ADG=180°，即④正确；⑤过点G作GM⊥DF于点M，设AB=2a（a＞0），则AD=3a，利用分割图形求面积法结合三角形的面积公式可算出S_△BDG和S_△DGF的值，由此可得出⑤正确．综上即可得出结论．

解答 解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，AB=CD，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴∠AEB=90°-∠BAE=45°=∠BAE，
∴BE=AB=CD，①正确；
②∵AB∥CD，
∴∠CFE=∠BAE=45°，∠CEF=∠AEB=45°，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∵点G为EF的中点，
∴CG⊥EF，∠CGF=90°，∠FCG=45°，
∵∠FCG=∠CGD+∠CDG=45°，
∴∠CGD＜45°，
∴∠DGF=∠CGD+∠CGF＜45°+90°=135°，②不正确；
③∵△CEF为等腰直角三角形，
∴CG=EG．
∵∠BEG=180°-∠CEF=135°，∠DCG=180°-∠FCG=135°，
∴∠BEG=∠DCG，
在△BEG和△DCG中，有$\left\{\begin{array}{l}{BE=DC}\\{∠BEG=∠DCG}\\{EG=CG}\end{array}\right.$，
∴△BEG≌△DCG（SAS），③正确；
④∵△BEG≌△DCG，
∴∠EBG=∠CDG，
∵∠ABG=∠ABC+∠EBG，∠ADG=∠ADC-∠CDG，
∴∠ABG+∠ADG=∠ABC+∠ADC=180°，④正确；
⑤过点G作GM⊥DF于点M，如图所示．
∵$\frac{AB}{AD}$=$\frac{2}{3}$，
∴设AB=2a（a＞0），则AD=3a．
∵∠DAF=45°，∠ADF=90°，
∴△ADF为等腰直角三角形，
∴DF=AD=3a．
∵△CGF为等腰直角三角形，
∴GM=CM=$\frac{1}{2}$CF=$\frac{1}{2}$（DF-CD）=$\frac{1}{2}$a，
∴S_△DGF=$\frac{1}{2}$DF•GM=$\frac{1}{2}$×3a×$\frac{1}{2}$a=$\frac{3}{4}{a}^{2}$．
S_△BDG=S_△BCD+S_梯形BGMC-S_△DGM=$\frac{1}{2}$×2a×3a+$\frac{1}{2}$×（3a+$\frac{1}{2}$a）×$\frac{1}{2}$a-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$a×（2a+$\frac{1}{2}$a）=$\frac{13}{4}{a}^{2}$．
∴3S_△BDG=13S_△DGF，⑤正确．
综上可知：正确的结论有①③④⑤．
故答案为：①③④⑤．

点评 本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、三角形的面积公式以及角的计算，解题的关键是逐条分析5个结论是否正确．本题属于中档题，难度不大，但解题过程稍显繁琐，好在该题为填空题，好多结论可以直接拿来运用，不需去证明．解决该题型时，利用分割图形法求面积是难点，此处应该加以重视．