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    19．如图，已知⊙O的半径为15，弦AB=24，求点O到AB的距离及∠OAB的余弦值．

    分析 过O作OC⊥AB，可得C为AB的中点，求出AC的长，根据勾股定理求出OC的长，在Rt△AOC中，利用锐角三角函数的定义即可得出结论．

    解答 解：过O作OC⊥AB，可得C为AB的中点，
    ∵AB=24，
    ∴AC=BC=12，
    ∴OC=$\sqrt{{OA}^{2}-{AC}^{2}}$=$\sqrt{{15}^{2}-{12}^{2}}$=9．
    在Rt△AOC中，OA=15，AC=12，
    则cos∠OAB=$\frac{12}{15}$=$\frac{4}{5}$．

    点评 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

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    10．如图，△ABC是等腰直角三角形，点D是斜边AB上一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，AC=4，则EF的最小值是（　　）
    A．4$\sqrt{2}$B．4C．2$\sqrt{2}$D．2

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    7．如图，△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，CE是AB边上的高，
    （1）若∠A=40°，∠B=60°，求∠DCE的度数．
    （2）若∠A=m，∠B=n，则∠DCE=$\frac{n-m}{2}$．（直接用m、n表示）

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    14．如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面5m处折断倒下，树顶落在离树根12m处，求大树在折断之前的高度．

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    4．直线MN与直线PQ相交于O，点A在射线OP上运动，点B 在射线OM上运动．
    （1）如图1，若∠AOB=80°，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．
    （2）如图2，若∠AOB=80°，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，AD、BC的延长线交于点F，点A、B在运动的过程中，∠F=50°；DE、CE又分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小也不发生变化，其大小为：∠CED=65°．
    （3）如图3，若∠AOB=90°，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线相交于E、F，则∠EAF=90°；
    （4）如图3，若AF，AE分别是∠GAO，∠BAO的角平分线，∠AOB=90°，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的4倍，则∠ABO的度数=36°或45°．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    11．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．
    （1）求证：△MBA≌△NDC；
    （2）求证：四边形MPNQ是菱形．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    8．如图是某种货车自动卸货时的示意图，AC是水平汽车底盘，OB是液压举升杠杆，货车卸货时车厢AB与底盘AC的夹角为30°，举升杠杆OB与底盘AC的夹角为75°，已知O与A的距离为4米，试求货车卸货时举升杠杆OB的长（$\sqrt{2}≈1.414$，精确到0.01米）．

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    9．2016年全国中小学生“安全教育日”主题：“强化安全意识，提升安全素养”，小刚骑单车上学，当他骑了一段，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校．以下是他本次所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
    （1）小刚家到学校的路程是1500米；小刚在书店停留了4分钟；
    （2）本次上学途中，小刚一共行驶了2700米；一共用了14分钟； 
    （3）我们认为骑单车的速度超过300米/分就超过了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时间段小刚骑车速度最快，速度在安全限度内吗？请给小刚提一条合理化建议．

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