Question

如图，在△ABC中，A、B、C三点的坐标分别为A（0，8），B（-6，0），C（15，0）．若△ABC内心为D，则点D的坐标是

 

．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心,坐标与图形性质

专题：

分析：如图，作辅助线；运用圆的切线长定理求出CM的长度，进而求出OM的长度，此即点D的横坐标；运用三角形的面积公式求出DM的长度，此即点D的纵坐标．

解答：解：如图，连接DA、DB、DC、DM、DN、DP；
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴AN=AP（设为λ），BM=BN（设为μ），CM=CP（设为γ）；
DM⊥BC，DN⊥AB，DP⊥AC；
∵A、B、C三点的坐标分别为A（0，8），B（-6，0），C（15，0），
∴由勾股定理得：AB=10，AC=17，BC=21；
∴

λ+μ=10 λ+γ=17 μ+γ=21

，
解得γ=14，即CM=14，
∴OM=OC-CM=15-14=1；设⊙O的半径为φ；
∵△ABC的面积=△AOB、△AOC、△BOC的面积之和
∴由面积公式得：

1

2

BC•AO=

1

2

（AB+AC+BC）•θ，
解得：θ=

7

2

，即DM=

7

2

；
综上所述点D的坐标为（1，

7

2

）．
故答案为：（1，

7

2

）．

点评：该题主要考查了三角形的内切圆的性质及其应用问题；解题的关键是作辅助线；灵活运用圆的切线长定理、内切圆的性质等几何知识点来分析、判断、推理或解答．