如图.定义:在直角三角形ABC中.锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切.记作ctanα.即ctanα=$\frac{角α的邻边}{角α的对边}$=$\frac{AC}{BC}$.根据上述角的余切定义.解下列问题:(1)ctan30°=$\sqrt{3}$,(2)如图.已知tanA=$\frac{3}{4}$.其中∠A为锐角.试求ctanA的值．(3)已知第一象限内的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

9．

如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα=$\frac{角α的邻边}{角α的对边}$=$\frac{AC}{BC}$，根据上述角的余切定义，解下列问题：
（1）ctan30°=$\sqrt{3}$；
（2）如图，已知tanA=$\frac{3}{4}$，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．
（3）已知第一象限内的点A在反比例函数y=$\frac{2}{x}$的图象上，第二象限内的点B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，且OA⊥OB，ctanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，直接写出k的值．

分析（1）当α=30°时，利用其正切值可求得$\frac{BC}{AC}$的值，根据余切的定义可求得答案；
（2）由正切函数的定义可知$\frac{BC}{AC}$的值，则可求得$\frac{AC}{BC}$的值，可求得ctanA的值；
（3）过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，则可证得△OAC∽△BOD，由ctanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可求得其相似比，则可求得△BOD的面积，则可求得k的值．

解答解：
（1）∵tanα=$\frac{BC}{AC}$，
∴tan30°=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\sqrt{3}$，
∴ctan30°=$\frac{AC}{BC}$=$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$；
（2）在Rt△ABC中，tanA=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$，
∴ctanA=$\frac{4}{3}$；
（3）如图，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，

∵A在反比例函数y=$\frac{2}{x}$的图象上，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$OC•AC=$\frac{1}{2}$×2=1，
∵ctanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{OA}{OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵OA⊥OB，
∴∠AOC+∠BOD=∠BOD+∠OBD=90°，
∴∠AOC=∠OBD，且∠ACO=∠BDO=90°，
∴△OAC∽△BOD，
∴$\frac{{S}_{△OAC}}{{S}_{△BOD}}$=（$\frac{OA}{OB}$）²=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²=$\frac{1}{3}$，即$\frac{1}{{S}_{△BOD}}$=$\frac{1}{3}$，
∴S_△BOD=3，
∵S_△BOD=$\frac{1}{2}$OD•BD=-$\frac{1}{2}$k，
∴-$\frac{1}{2}$k=3，解得k=-6．

点评本题为反比例函数的综合应用，涉及三角函数的定义、特别角的三角函数值、相似三角形的判定和性质、反比例函数中k的几何意义等知识．在（1）、（2）中理角余切值的定义是解题的关键，在（3）中求得△BOD的面积是解题的关键．本题为新定义型题目，关键是理解题目中所给的新定义，难度不大．

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科目：初中数学 来源： 题型：选择题

19．

如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB₁C₁，再以对角线OB₁为边作第三个正方形OB₁B₂C₂，照此规律作下去，则点B₂₀₁₅的坐标为（　　）

A．

（2¹⁰⁰⁸，0）

B．

（2¹⁰⁰⁷，-2¹⁰⁰⁷）

C．

（2¹⁰⁰⁹，2¹⁰⁰⁹）

D．

（-2¹⁰⁰⁷，2¹⁰⁰⁷）

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