Question

按下图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式就输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：

（Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；

（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。

（1）若y与x的关系是y＝x＋p(100－x)，请说明：当p＝时，这种变换满足上述两个要求；

（2）若按关系式y=a(x－h)²＋k　(a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）

Answer 1

解：（1）当P=时，y=x＋,即y=。

∴y随着x的增大而增大，即P=时，满足条件（Ⅱ）

又当x=20时，y==100。而原数据都在20～100之间，

所以新数据都在60～100之间，即满足条件（Ⅰ），

综上可知，当P=时，这种变换满足要求；

（2）本题是开放性问题，答案不唯一。若所给出的关系式满足：

（a）h≤20；

（b）若x=20,100时，y的对应值m，n能落在60～100之间，

则这样的关系式都符合要求。

如取h=20,y=,

∵a＞0，∴当20≤x≤100时，y随着x的增大

令x=20,y=60，得k=60              　   ①

令x=100,y=100，得a×80²＋k=100         ②

由①②解得，    ∴。