Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别是AC、AB的中点，点F在BC的延长线上，且∠CDF＝∠A．

（1）求证：四边形DECF是平行四边形；

（2）若∠A＝30°，写出图中所有与FD长度相等的线段．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AE＝EB＝BC＝EC＝DF

【解析】

（1）首先利用三角形中位线的性质得出DE∥BC，进而结合直角三角形的性质得出CE＝AB＝AE，得出∠CDF＝∠ACE，推出DF∥CE，再利用平行四边形的定义判定即可．

（2）只要证明△EBC是等边三角形即可判定；

（1）证明：∵D，E分别为AC，AB的中点，

∴DE为△ACB的中位线，

∴DE//BC．

∵CE为Rt△ACB的斜边上的中线，

∴CE＝AB＝AE．

∴∠A＝∠ACE．

又∵∠CDF＝∠A，

∴∠CDF＝∠ACE．

∴DF//CE．

又∵DE//BC，

∴四边形DECF为平行四边形．

（2）解：图中所有与FD长度相等的线段有：AE、BE、CE、BC；理由如下：

∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，

∴∠B＝60°，

∵EC＝EA＝EB，

∴△EBC是等边三角形，

∴AE＝EB＝BC＝EC＝DF．