Question

6．已知：如图，平行四边形ABCD中，点E，F分别是AD，CD的中点，EG⊥BC，垂足为点G，连接FG，求证：AC=2GF．

Answer 1

分析 连接EF，延长EF交BC延长线于H，由平行四边形的性质得出AD∥BC，即AE∥CH，由三角形中位线定理得出EF∥AC，即EH∥AC，证出四边形ACHE是平行四边形，得出AC=EH，由平行线的性质得出∠D=∠FCH，∠DEF=∠H，证明△DEF≌△CHF，得EF=FH，由直角三角形的性质得出EH=2GF，即可得出结论

解答 证明：连接EF，延长EF交BC延长线于H，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AE∥CH，
∵点E，F分别是AD，CD的中点，
∴EF∥AC，即EH∥AC，
∴四边形ACHE是平行四边形，
∴AC=EH，
∵ED∥CH，
∴∠D=∠FCH，∠DEF=∠H，
在△DEF和△CHF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠FCH}&{\;}\\{∠DEF=∠H}&{\;}\\{DF=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△CHF（AAS），
∴EF=FH，
∵EG⊥BC，
∴EH=2GF，
∴AC=2GF．

点评 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，作辅助线构造出全等三角形和直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．