Question

（2012•莆田）点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P是x轴上使得|PA-PB|的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，则OP•OQ=

5

．

Answer 1

分析：连接AB并延长交x轴于点P，作A点关于y轴的对称点A′连接A′B交y轴于点Q，求出点Q与y轴的交点坐标即可得出结论．

解答：解：连接AB并延长交x轴于点P，由三角形的三边关系可知，点P即为x轴上使得|PA-PB|的值最大的点，
∵点B是正方形的中点，
∴点P即为AB延长线上的点，此时P（3，0）即OP=3；
作A点关于y轴的对称点A′连接A′B交y轴于点Q，则A′B即为QA+QB的最小值，
∵A′（-1，2），B（2，1），
设过A′B的直线为：y=kx+b，则

2=-k+b 1=2k+b

，
解得

k=- 1 3 b= 5 3

，
∴Q（0，

5

3

），即OQ=

5

3

，
∴OP•OQ=3×

5

3

=5．
故答案为：5．

点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题，根据题意得出P、Q两点的坐标是解答此题的关键．