Question

【题目】如图，矩形纸片ABCD中，AD=1，AB=2．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB、CD交于点G、F，AE与FG交于点O．当△AED的外接圆与BC相切于BC的中点N．则折痕FG的长为______．

Answer 1

【答案】

【解析】试题分析：设AE与FG的交点为O． 根据轴对称的性质，得AO=EO．

取AD的中点M，连接MO． 则MO=DE，MO∥DC．

设DE=x，则MO=x， 在矩形ABCD中，∠C=∠D=90°，

所以AE为△AED的外接圆的直径，O为圆心． 延长MO交BC于点N，则ON∥CD．

所以∠CNM=180°-∠C=90°． 所以ON⊥BC，四边形MNCD是矩形．

所以MN=CD=AB=2．所以ON=MN-MO=2-x．

因为△AED的外接圆与BC相切， 所以ON是△AED的外接圆的半径．

所以OE=ON=2-x，AE=2ON=4-x．

根据Rt△AED的勾股定理可得：x= 所以DE=，OE=2-x=．

根据轴对称的性质，得AE⊥FG． 所以∠FOE=∠D=90°．可得FO=．

又AB∥CD，所以∠EFO=∠AGO，∠FEO=∠GAO． 所以△FEO≌△GAO．所以FO=GO．

所以FG=2FO= 所以折痕FG的长是．