Question

【题目】在Rt△ABC中，已知∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，若点E在△ABC内部运动，且满足AE2＝BE2＋2CE2，则点E的运动路径长是__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

过C作CF⊥CE且CE=CF，可得EF2=2CE2、 ∠ECF=∠ACB=90°、∠CEF=∠CFE=45°；再证明△ACE≌△CFB，可得AE=BF；然后再证FEB=90°，即∠BCE=135°；作△CEB的外接圆，圆心为O，取圆上任意一定G，连接BO、CO、BG、CG，根据四边形的外接圆的性质可得∠CGB=45°，∠COB=90°；再求得OB的长，最后运用弧长公式解答即可．

解：如图：过C作CF⊥CE且CE=CF

∴EF2=2CE2，∠ECF=∠ACB=90°，∠CEF=∠CFE=45°

∵∠ACE=∠ACB-∠ECB， ∠BCF=∠ECF-∠ECB，

∴∠ACE=∠BCF

∵在△ACE和△CFB中，AC=BC， ∠ACE=∠BCF，CE=CF

∴△ACE≌△CFB

∴AE=BF

∵AE2＝BE2＋2CE2

∴AE2＝BE2＋EF2

∴BF2＝BE2＋EF2，即∠FEB=90°

∴∠BCE=∠CEF+∠FEB=135°

如图：作△CEB的外接圆，圆心为O，取圆上任意一定G，连接BO、CO、BG、CG

则⊙O是四边形CEBG的外接圆

∴∠CGB=180°-∠BCE =45°

∴∠COB=90°

∵BC=4，OB=OC

∴OB=2

∴==

故答案为．