Question

11．如图，正方形ABCD中，AB=8，以AB为斜边向下作等腰Rt△ABE，F为EB的中点，连接DE、AF交于点M，连接BM，则BM的长为$\sqrt{26}$．

Answer 1

分析 如图，作EN⊥AB于N，MH⊥AB于H，EN交AF于G．首先证明G是△ABE的重心，推出AG=2FG，EG=2NG，求出EG，AM，由EG∥AD，得$\frac{EG}{AD}$=$\frac{MG}{AM}$=$\frac{1}{3}$，
推出AM=3MG=$\frac{3}{4}$AG=$\sqrt{10}$，由HM∥GN，得$\frac{MH}{GN}$=$\frac{AM}{AG}$=$\frac{3}{4}$，推出HM=1，AH=$\sqrt{A{M}^{2}-H{M}^{2}}$=3，再根据BM=$\sqrt{H{M}^{2}+H{B}^{2}}$即可解决问题．

解答 解：如图，作EN⊥AB于N，MH⊥AB于H，EN交AF于G．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD=8，
∵AE=EB，∠AEB=90°，EN⊥AB，
∴AE=EB=4$\sqrt{2}$，AN=BN=EN=4，
∵BF=EF，
∴点G是△AEB的重心，
∴EG=2GN，AG=2GF，
在Rt△AEF中，AF=$\sqrt{A{E}^{2}+E{F}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∴AG=$\frac{2}{3}$AF=$\frac{4\sqrt{10}}{3}$，EG$\frac{2}{3}$EN=$\frac{8}{3}$，
∵EG∥AD，
∴$\frac{EG}{AD}$=$\frac{MG}{AM}$=$\frac{1}{3}$，
∴AM=3MG=$\frac{3}{4}$AG=$\sqrt{10}$，
∵HM∥GN，
∴$\frac{MH}{GN}$=$\frac{AM}{AG}$=$\frac{3}{4}$，
∴HM=1，AH=$\sqrt{A{M}^{2}-H{M}^{2}}$=3，HN=1，HB=5，
∴BM=$\sqrt{H{M}^{2}+H{B}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{26}$．
故答案为$\sqrt{26}$．

点评 本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形重心的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．