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5.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,BD=DF.求证:BE=CF.

分析 根据角平分线的性质得出DE=CD,再根据HL证明Rt△BDE≌Rt△FDC,即可得出结论.

解答 证明:∵∠ACB=90°,
∴DC⊥AC,
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,
∴DE=DC.
在Rt△BDE和Rt△FDC中,
$\left\{\begin{array}{l}{BD=DF}\\{DE=DC}\end{array}\right.$,
∴Rt△BDE≌Rt△FDC(HL),
∴BE=CF.

点评 本题主要考查角平分线的性质,全等三角形的判定与性质.证明三角形全等是解答本题的关键.

练习册系列答案
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15.若tan40°=a,则tan50°=(  )
A.$\frac{1}{a}$B.-aC.aD.2a

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16.【情景观察】
将含45°角的三角板的直角顶点R放在直线l上,分别过两锐角的顶点M,N作l的垂线,垂足分别为P、Q,如图1,观察图1可知:与NQ相等的线段是PR,与∠NRQ相等的角是∠PMR.
【问题探究】
直角△ABC中,∠B=90°,在AB边上任取一点D,连接CD,分别以AC,DC为边作正方形ACEF和正方形CDGH,如图2,过E,H分别作BC所在直线的垂线,垂足分别为K,L.试探究EK与HL之间的数量关系,并证明你的结论.
【拓展延伸】
直角△ABC中,∠B=90°,在AB边上任取一点D,连接CD,分别以AC,DC为边作矩形ACEF和矩形CDGH,连接EH交BC所在的直线于点T,如图3,如果AC=kCE,CD=kCH,试探究TE与TH之间的数量关系,并证明你的结论.

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13.设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一确定的值和它对应,那么就说y是x的函数,记作y=f(x).在函数y=f(x)中,当自变量x=a时,相应的函数值y可以表示为f(a).
例如:函数f(x)=x2-2x-3,当x=4时,f(4)=42-2×4-3=5在平面直角坐标系xOy中,对于函数的零点给出如下定义:
如果函数y=f(x)在a≤x≤b的范围内对应的图象是一条连续不断的曲线,并且f(a).f(b)<0,那么函数y=f(x)在a≤x≤b的范围内有零点,即存在c(a≤c≤b),使f(c)=0,则c叫做这个函数的零点,c也是方程f(x)=0在a≤x≤b范围内的根.
例如:二次函数f(x)=x2-2x-3的图象如图1所示.
观察可知:f(-2)>0,f(1)<0,则f(-2).f(1)<0.所以函数f(x)=x2-2x-3在-2≤x≤1范围内有零点.由于f(-1)=0,所以,-1是f(x)=x2-2x-3的零点,-1也是方程x2-2x-3=0的根.
(1)观察函数y1=f(x)的图象2,回答下列问题:
①f(a)•f(b)<0(“<”“>”或“=”)
②在a≤x≤b范围内y1=f(x)的零点的个数是1.
(2)已知函数y2=f(x)=-$\sqrt{3}{x^2}-2\sqrt{3}(a-1)x-\sqrt{3}({a^2}-2a)$的零点为x1,x2,且x1<1<x2
①求零点为x1,x2(用a表示);
②在平面直角坐标xOy中,在x轴上A,B两点表示的数是零点x1,x2,点 P为线段AB上的一个动点(P点与A、B两点不重合),在x轴上方作等边△APM和等边△BPN,记线段MN的中点为Q,若a是整数,求抛物线y2的表达式并直接写出线段PQ长的取值范围.

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20.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴,y轴分别交于A(-3,0),B(0,2),当函数图象在第二象限时,自变量x的取值范围是-3<x<0.

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10.如图,某海洋区域内有A、B两个小岛,其中A岛在B岛的西南方向,一天,一只轮船上午8时从A岛出发,沿正东方向以每小时80海里的速度航行1.5小时到达C处,此时轮船在B岛的南偏西15°方向,试求A、B两岛相距多少海里?(结果保留根号)(注:E-东方,W-西方,S-南方,N-北方)

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17.如图,点A在反比例函数y=$\frac{6}{x}$图象第一象限的分支上,连结AO并延长交另一分支于点B,以AB为斜边作等腰直角三角形ABC,顶点C在第四象限,AC与x轴交于点D,若△OAD与△BCD的面积相等,则点A的横坐标是(  )
A.$\sqrt{3}$B.2C.$\sqrt{6}$D.2$\sqrt{3}$

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14.如图,面积为9cm2的正方形EFGH在面积为25cm2的正方形ABCD所在平面上移动,始终保持EF∥AB,记线段CF的中点为M,DH的中点为N,则线段MN的长度是(  )
A.$\frac{25}{4}$cmB.$\frac{73}{4}$cmC.$\frac{\sqrt{73}}{2}$cmD.$\frac{\sqrt{75}}{2}$cm

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20.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,以AB为直径的圆O交BC于点D,过点C作CF∥AB,与⊙O的切线BE交于点E,连接DE.
(1)求证:BD=CD;
(2)求证:△CAB∽△CDE;
(3)设△ABC的面积为S1,△CDE的面积为S2,直径AB的长为x,若∠ABC=30°,S1、S2 满足S1+S2=$28\sqrt{3}$,试求x的值.

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