Question

【题目】综合与探究

如图所示：点和点分别在射线和射线上运动（点和点不与点重合），，是的平分线，是在顶点处的外角平分线，的反向延长线与交于点.试回答下列问题：

（1）若，则_________，若，则_________.

（2）设，用表示的度数，则__________.

（3）试猜想，点和点在运动过程中，的度数是否发生变化？若变化，请求出变化范围；若不变，请给出证明.

Answer 1

【答案】（1）45 45；（2）；（3）不变，理由如下：

【解析】

（1）根据角平分线的定义用∠ACB表示出∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出∠MAC，整理即可得解；
（2）根据（1）可得∠D=45°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解答即可；
（3）根据角的平分线定义表示出∠MAC，∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理即可得到∠D的大小只与∠ABC有关．

（1）∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD=∠ACB，
∵AM是△ABC在顶点A处的外角平分线，
∴∠MAC=∠FAC，
根据三角形外角性质，∠MAC=∠ACD+∠D，
∠FAC=∠ACB+∠ABC，
∴∠ACD+∠D=（∠ACB+∠ABC），
∴∠ACB+∠D=∠ACB+∠ABC，
∠D=∠ABC，
∵BF⊥BE，
∴∠ABC=90°，
∴∠D=

即∠D的大小与∠ACB无关，等于∠ABC，
当∠ACB=30°，∠D=45°，∠ACB=70°，∠D=45°；

（2）根据（1）∠D=45°，
∵∠ACD=x，
∴在△ACD中，∠MAC=∠ACD+∠D=（45+x）°；
（3）不变．理由如下：
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD=∠ACB，
∵AM是△ABC在顶点A处的外角平分线，
∴∠MAC=∠FAC，
根据三角形外角性质，∠MAC=∠ACD+∠D，
∠FAC=∠ACB+∠ABC，
∴∠ACD+∠D=（∠ACB+∠ABC），
∴∠ACB+∠D=∠ACB+∠ABC，
∠D=∠ABC，
∵BF⊥BE，
∴∠ABC=90°，
∴∠D=×90°=45°．