Question

5．如图，在△ABC中，∠C=90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．
（1）若∠A=25°，则求$\widehat{BD}$的度数；
（2）若BC=3，AC=4，则求DB的长．

Answer 1

分析 （1）连接CD，求出∠B=65°，再根据CB=CD，求出∠BCD的度数即可；
（2）延长AC交⊙C与点F，根据勾股定理求出AB的长，由BC=3，AC=4得出AE的长，再根据切割线定理即可得出AD的长，进而得出结论．

解答 解：（1）连接CD，
∵∠A=25°，
∴∠B=65°，
∵CB=CD，
∴∠B=∠CDB=65°，
∴∠BCD=50°，
∴$\widehat{BD}$的度数为50°；

（2）延长AC交⊙C与点F，
∵∠C=90°，BC=3，AC=4，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，AE=4-3=1．
∵AB与AF均是⊙C的割线，
∴AD•AB=AE•AF，即5AD=（3+4）×1，解得AD=$\frac{7}{5}$，
∴BD=AB-AD=5-$\frac{7}{5}$=$\frac{18}{5}$．

点评 本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形是解答此题的关键．