Question

2．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，直线a经过点C交AB于点P，AD⊥a，BE⊥a，垂足分别为D、E，
（1）通过测量CD与BE的长度，猜想CD与BE满足的数量关系，并证明你的结论．
（2）当直线a绕着点C旋转不经过△ABC内部时，那么上述结论还成立吗？说明理由．

Answer 1

分析 （1）由△ABC是等腰直角三角形，得到AC=BC，由于AD⊥a，BE⊥a，得到互余的角，再证明△ACD≌△BCE，得到CD=BE；
（2）由△ABC是等腰直角三角形，得到AC=BC，由于AD⊥a，BE⊥a，得到互余的角，再证明△ACD≌△BCE，得到CD=BE；

解答 解：（1）如图，CD=BE，
证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
AD⊥a，BE⊥a，垂足分别为D、E，
∴∠DAC+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°
∴∠DAC=∠BCD，
在△ACD与△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAC=∠BCE}\\{∠ADC=∠BEC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（AAS），
∴CD=BE；

（2）如图2，成立，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
AD⊥a，BE⊥a，垂足分别为D、E，
∴∠DAC+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°
∴∠DAC=∠BCD，
在△ACD与△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAC=∠BCE}\\{∠ADC=∠BEC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（AAS），
∴CD=BE．

点评 本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，注意两题的思路是一样的．