分析 (1)根据矩形的性质得到∠EAM=∠FDM=90°,根据全等三角形的判定定理即可得到结论;
(2)①过点G作GH⊥AD于H,通过条件可以证明△AEM≌△HMG,得出ME=MG,进而得出∠EGM=45°,再由(1)的结论可以得出∠EGF=90°,从而得出结论;②当点E运动到A时,G为BC的中点,当点E运动到B时,点G与C重合,根据三角形的中位线的性质即可得到结论;
(3)在Rt△AME中,AE=x,AM=2.根据勾股定理EM2=x2+4,根据已知条件列方程即可得到结论.
解答 (1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠MDF=90°,
∵M是AD的中点,
∴AM=DM.
在△AME与△DMF中,$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠MDF}\\{AM=DM}\\{∠AME=∠FMD}\end{array}\right.$,
∴△AME≌△DMF;
(2)①△EGF的形状不发生变化,始终是等腰直角三角形.
理由:过点G作GH⊥AD于H,如图2,
∵∠A=∠B=∠AHG=90°,
∴四边形ABGH是矩形.
∴GH=AB=2.
∵MG⊥EF,
∴∠GME=90°.
∴∠AME+∠GMH=90°.
∵∠AME+∠AEM=90°,
∴∠AEM=∠GMH.
∴△AEM≌△HMG.
∴ME=MG.
∴∠EGM=45°.
由(1)得△AEM≌△DFM,
∴ME=MF.
∵MG⊥EF,
∴GE=GF.
∴∠EGF=2∠EGM=90°.
∴△GEF是等腰直角三角形;
②线段MG的中点H运动的路程最长为1,
如图3,当点E运动到A时,MG⊥AD,∴MG⊥BC,
∴G为BC的中点,
当点E运动到B时,点G与C重合,
∴CG=$\frac{1}{2}$BC=2,
∴HH′=$\frac{1}{2}$CG=1,
∴线段MG的中点H运动的路程最长为1;
(3)在Rt△AME中,AE=x,AM=2.
根据勾股定理,得EM2=AE2+AM2=x2+4.
S=S△EGF=$\frac{1}{2}$EF•GM=EM2=x2+4,即x2+4=6.
∴x1=$\sqrt{2}$,x2=-$\sqrt{2}$(舍去).
∴当x=$\sqrt{2}$时,S=6.
点评 本题考查了全等三角形的判定及性质,相似三角形的判定及性质,三角函数值的运用,等边三角形的判定,等腰直角三角形的判定.熟练掌握全等三角形和相似三角形的判定方法是解题的关键.
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A. | x≥-2 | B. | x≤-2 | C. | x≤3 | D. | x≥3 |
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