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(2013•沁阳市一模)以原点为圆心,1cm为半径的圆分别交x、y轴的正半轴于A、B两点,点P的坐标为(2,0).
(1)如图1,动点Q从点B处出发,沿圆周按顺时针方向匀速运动一周,设经过的时间为t秒,当t=1时,直线PQ恰好与⊙O第一次相切,连接OQ.求此时点Q的运动速度(结果保留);
(2)若点Q按照(1)中的方向和速度继续运动,
①当t为何值时,以O、P、Q为顶点的三角形是直角三角形;
②在①的条件下,如果直线PQ与⊙O相交,请求出直线PQ被⊙O所截的弦长.
分析:(1)连接OQ,求出∠QPO,求出∠BOQ,根据弧长公式求出即可;
(2)分为四种情况,画出图形,求出弧长,即可求出答案;
(3)作OM⊥PQ,根据面积公式即可求出答案.
解答:解:(1)如图1,连接OQ,则OQ⊥PQ.
∵OQ=OA=1,OP=2,
∴∠QPO=30°,
∵∠PQO=90°,
∴∠QOP=60°,
∴∠BOQ=30°,
∴弧BQ的长是
30π×1
180
=
1
6
π,
∵运动时间t=1,
∴点Q的运动速度为
1
6
π


(2)分为四种情况:①由(1)可知,当t=1时,△OPQ为直角三角形;
②如图2,当点Q1关于x轴对称时,
△OPQ1为直角三角形,此时∠BOQ1=150°,
弧BQ1=
5
6
π,T=5;
③当点Q2(0,-1)或Q3(0,1)时,∠POQ2=∠POQ3=90°,此时t=6或t=12
即当t=1,t=5,t=6或t=12时,△OPQ为直角三角形;

(3)如图3,当t=6或t=12时,直线PQ与⊙O相交,设交点为N,
作OM⊥PQ,根据等面积法可知:PQ•OM=OQ•OP,
PQ=
OP2+OQ2
=
5
,OM=
2
5
5

QM=
OQ2-OM2
=
5
5

弦长QN=2QM=
2
5
5
CM.
点评:本题考查了弧长的计算,三角形面积公式,切线的性质,含30度角的直角三角形性质等知识点的应用,主要考查学生的计算能力,用了分类讨论思想.
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