Question

1．在形如a^b=N的式子中，我们已经研究过已知a和b，求N，这种运算就是乘方运算．
现在我们研究另一种情况：已知a和N，求b，我们把这种运算叫做对数运算．
定义：如果a^b=N（a＞0，a≠1，N＞0），则b叫做以a为底N的对数，记作b=log_aN．
例如：因为2³=8，所以log₂8=3；因为${2^{-3}}=\frac{1}{8}$，所以${log_2}\frac{1}{8}=-3$．
（1）根据定义计算：
①log₃81=4；②log₃3=1；③log₃1=0；④如果log_x16=4，那么x=2．
（2）设a^x=M，a^y=N，则log_aM=x，log_aN=y（a＞0，a≠1，M、N均为正数），因为a^x•a^y=a^x+y，所以a^x+y=M•N所以log_aMN=x+y，即log_aMN=log_aM+log_aN．这是对数运算的重要性质之一，进一步，我们还可以得出：log_aM₁M₂M₃…M_n=log_aM₁+log_aM₂+…+log_aM_n．（其中M₁、M₂、M₃、…、M_n均为正数，a＞0，a≠1）${log_a}\frac{M}{N}$=log_aM-log_aN（a＞0，a≠1，M、N均为正数）．
（3）结合上面的知识你能求出 ${log_{15}}2+{log_{15}}20+{log_{15}}^{\frac{3}{2}}-{log_{15}}4$  的值吗？

Answer 1

分析 （1）原式各项根据题中的新定义计算即可得到结果；
（2）根据对数的运算性质化简即可得到结果；
（3）原式利用对数的运算性质化简，计算即可得到结果．

解答 解：（1）①log₃81=log₃3⁴=4；②log₃3=1；③log₃1=0；④如果log_x16=4，那么x=2；
（2）log_aM₁M₂M_3…M_n=log_aM₁+log_aM₂+…+log_aM_n；log_a$\frac{m}{n}$=log_aM-log_aN（a＞0，a≠1，M、N均为正数）；
（4）原式=log₁₅2×20×$\frac{3}{2}$÷4=log₁₅15=1．
故答案为：（1）①4；②1；③0；④2；（2）log_aM₁+log_aM₂+…+log_aM_n；log_aM-log_aN

点评 此题考查了整式的混合运算，弄清题中对数的定义及性质是解本题的关键．