Question

如图，已知直角坐标系内的梯形AOBC（O为原点），AC∥OB，OC⊥BC，OA=2，AC，OB的长是关于x的方程x²-（k+2）x+5=0的两个根，且S_△AOC：S_△BOC=1：5．
（1）填空：0C=

 

，k=

 

；
（2）求经过O，C，B三点的抛物线的解析式；
（3）AC与抛物线的另一个交点为D，动点P，Q分别从O，D同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点P沿OB由O→B运动，点Q沿DC由D→C运动，过点Q作QM⊥CD交BC于点M，连接PM，设动点运动时间为t秒，请你探索：当t为何值时，△PMB是直角三角形．

Answer 1

分析：（1）由于AC，OB是关于x的方程x²-（k+2）x+5=0的两个根，则AC•OB=5，根据S_△AOC：S_△BOC=1：5，又可得出OB=5AC，因此可得出OB=5，AC=1．k+2=AC+OB=6，因此k=4；在直角三角形ACO中，根据OA=2，AC=1即可根据勾股定理求得OC=

5

．
（2）可根据O，C，B三点的坐标用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）本题要先求出CD的距离，关键是求出D的坐标，可根据直线AC的解析式和（2）得出的抛物线的解析式求出D点的坐标，然后用时间t表示出QD，CQ，OP，PB的长．
①如果MP⊥OB，此时四边形AOPQ是矩形，那么AQ=OP，可据此求出t的值．
②如果PM⊥BM，可延长QM交OB于N，则MN⊥OB，如果过C作OB的垂线设垂足为E，那么NE=CD-QD，可用含t的式子表示出NE的长，进而可表示出BN，NP的长，然后根据MN∥CE，依据平行线分线段成比例定理可得出MN：OC=BN：BE，可求出MN的长，在直角三角形BPM中由于MN⊥PB，可根据射影定理得出关于t的方程，从而求出t的值．
综上所述可求得符合条件的t的值．

解答：解：（1）

5

，4．

（2）由题意得C（1，2），B（5，O），
设所求抛物线解析式为y=ax（x-5），
a=-

1

2

y=-

1

2

x²+

5

2

x．

（3）直线AC：y=2．
直线AC与抛物线交于点C，D．
解得x₁=1，x₂=4．
∴CD=3．延长QM交x轴于点N．
①若MP⊥OB，则四边形AOPQ是矩形，
∴AQ=OP，
∴4-t=t，且t=2．
②若PM⊥BM，则MN²=PN•BN．
∵

MN

2

=

1+t

4

∴MN=

t+1

2

PN=5-（1+t）-t=4-2t，BN=1+t，
∴（

t+1

2

）²=（4-2t）（1+t），
∴t₁=-1（舍去），t₂=

5

3

．
综上所得，当t=2（秒），或t=

5

3

（秒）时，△PMB是直角三角形．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、直角三角形的性质、矩形的性质等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．