Question

8．在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．
（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）BF和CG可看成△ABC的高，根据S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BF=$\frac{1}{2}$AB•CG，AB=AC，即可解决问题；
（2）连接AD，由于DF⊥AC，DE⊥AB，CG⊥AB，因此DF、DE、CG可分别看成△ACD、△ABD、△ABC的高，再根据S_△ACD+S_△ABD=S_△ABC，AB=AC，即可解决问题．

解答 解：（1）猜想：BF=CG．
理由：∵BF⊥AC，CG⊥AB，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BF=$\frac{1}{2}$AB•CG．
∵AB=AC，
∴BF=CG；
（2）猜想：DE+DF=CG．
理由：如图2，连接AD．
∵DF⊥AC，DE⊥AB，CG⊥AB，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$AC•DF，S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB•DE，S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CG．
∵S_△ACD+S_△ABD=S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$AC•DF+$\frac{1}{2}$AB•DE=$\frac{1}{2}$AB•CG．
∵AB=AC，
∴DF+DE=CG．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质，在解决问题的过程中，巧妙地运用面积法得到垂线段之间的关系，面积法是探究垂线段之间关系的非常重要的方法．