Question

17．设x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的两根，求证：
（1）x₁²+x₂²=$\frac{{b}^{2}-2ac}{{a}^{2}}$；
（2）$\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}+\frac{b}{c}$=0．

Answer 1

分析 因为x₁、x₂是方程ax²+bx+c=0的两个实数根，所以x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，然后把前面的值分别代入（1）x₁²+x₂²，（2）$\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}+\frac{b}{c}$，即可证出结论．

解答 解：∵x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的两根，
∴x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，
（1）x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（-$\frac{b}{a}$）²-2×$\frac{c}{a}$=$\frac{{b}^{2}-2ac}{{a}^{2}}$；
（2）$\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}+\frac{b}{c}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$+$\frac{b}{c}$=$\frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}$+$\frac{b}{c}$=-$\frac{b}{c}$+$\frac{b}{c}$=0．

点评 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，设x₁，x₂是关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．