Question

3．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A₁位置时，则点A经过的路线长为12π．

Answer 1

分析 如图根据旋转的性质知，点A经过的路线长是三段：①以90°为圆心角，AD长为半径的扇形的弧长；②以90°为圆心角，AB长为半径的扇形的弧长；③90°为圆心角，矩形ABCD对角线长为半径的扇形的弧长．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，AB=8，BC=6，
∴BC=AD=3，∠ADC=90°，对角线AC（BD）=10．
∵根据旋转的性质知，∠ADA′=90°，AD=A′D=BC=6，
∴点A第一次翻滚到点A′位置时，则点A′经过的路线长为：$\frac{90π×6}{180}$=3π．
同理，点A′第一次翻滚到点A″位置时，则点A′经过的路线长为：$\frac{90π×8}{180}$=4π．
点A″第一次翻滚到点A₁位置时，则点A″经过的路线长为：$\frac{90π×10}{180}$=5π．
则当点A第一次翻滚到点A₁位置时，则点A经过的路线长为：3π+4π+5π=12π．
故答案是：12π．

点评 本题考查了弧长的计算、矩形的性质以及旋转的性质．根据题意画出点A运动轨迹，是突破解题难点的关键．