Question

【题目】如图所示，已知在平面直角坐标系中，抛物线（其中、为常数，且）与轴交于点，它的坐标是，与轴交于点，此抛物线顶点到轴的距离为4.

（1）求抛物线的表达式；

（2）求的正切值；

（3）如果点是抛物线上的一点，且，试直接写出点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）点的坐标是或

【解析】

（1）先求得抛物线的对称轴方程，然后再求得点C的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+4，将点（-3，0）代入求得a的值即可；
（2）先求得A、B、C的坐标，然后依据两点间的距离公式可得到BC、AB、AC的长，然后依据勾股定理的逆定理可证明∠ABC=90°，最后，依据锐角三角函数的定义求解即可；
（3）记抛物线与x轴的另一个交点为D．先求得D（1，0），然后再证明∠DBO=∠CAB，从而可证明∠CAO=ABD，故此当点P与点D重合时，∠ABP=∠CAO；当点P在AB的上时．过点P作PE∥AO，过点B作BF∥AO，则PE∥BF．先证明∠EPB=∠CAB，则tan∠EPB=，设BE=t，则PE=3t，P（-3t，3+t），将P（-3t，3+t）代入抛物线的解析式可求得t的值，从而可得到点P的坐标．

解：（1）抛物线的对称轴为x=-=-1．
∵a＜0，
∴抛物线开口向下．
又∵抛物线与x轴有交点，
∴C在x轴的上方，
∴抛物线的顶点坐标为（-1，4）．
设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+4，将点（-3，0）代入得：4a+4=0，解得：a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3．
（2）将x=0代入抛物线的解析式得：y=3，
∴B（0，3）．
∵C（-1，4）、B（0，3）、A（-3，0），
∴BC=，AB=3，AC=2，
∴BC2+AB2=AC2，
∴∠ABC=90°．
∴．

即的正切值等于.
（3）如图1所示：记抛物线与x轴的另一个交点为D．

∵点D与点A关于x=-1对称，
∴D（1，0）．
∴tan∠DBO=．
又∵由（2）可知：tan∠CAB=．
∴∠DBO=∠CAB．
又∵OB=OA=3，
∴∠BAO=∠ABO．
∴∠CAO=∠ABD．
∴当点P与点D重合时，∠ABP=∠CAO，
∴P（1，0）．
如图2所示：当点P在AB的上时．过点P作PE∥AO，过点B作BF∥AO，则PE∥BF．

∵BF∥AO，
∴∠BAO=∠FBA．
又∵∠CAO=∠ABP，
∴∠PBF=∠CAB．
又∵PE∥BF，
∴∠EPB=∠PBF，
∴∠EPB=∠CAB．
∴tan∠EPB=.
设BE=t，则PE=3t，P（-3t，3+t）．
将P（-3t，3+t）代入抛物线的解析式得：y=-x2-2x+3得：-9t2+6t+3=3+t，解得t=0（舍去）或t=．
∴P（-，）．
综上所述，点P的坐标为P（1，0）或P（-，）．