Question

16．如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若CG：GB=1：k，求AD：AB（用含k的代数式表示）．

Answer 1

分析 由中点定义可得DE=CE，再由翻折的性质得出DE=EF，AF=AD，∠AFE=∠D=90°，从而得到CE=EF，连接EG，利用“HL”证明Rt△ECG≌Rt△EFG，得出CG=FG，设CG=a，求出GB、BC，再由矩形的对边相等得出AD=BC，求出AF，再求出AG，由勾股定理得出AB，再求比值即可．

解答 解：连接EG，如图所示：
∵点E是边CD的中点，
∴DE=CE，
∵将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，
∴DE=EF，AF=AD，∠AFE=∠D=90°，
∴CE=EF，
连接EG，
在Rt△ECG和Rt△EFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{EG=EG}\\{CE=EF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ECG≌Rt△EFG（HL），
∴CG=FG，
设CG=a，
∵$\frac{CG}{GB}$=$\frac{1}{k}$，
∴GB=ka，
∴BC=CG+BG=a+ka=a（k+1），
在矩形ABCD中，AD=BC=a（k+1），
∴AF=a（k+1），
AG=AF+FG=a（k+1）+a=a（k+2），
在Rt△ABG中，AB=$\sqrt{A{G}^{2}-B{G}^{2}}$=2a$\sqrt{k+1}$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{a（k+1）}{2a\sqrt{k+1}}$=$\frac{\sqrt{k+1}}{2}$．

点评 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用、以及翻折变换的性质；熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．