Question

如图，已知⊙O中，弦BC=8，A是

BAC

的中点，弦AD与BC交于点E，AE=5

3

，ED=

3

3

，M为

BDC

上的动点，（不与B、C重合），AM交BC于N．
（1）求证：AB²=AE•AD；
（2）当M在

BDC

上运动时，问AN•AM、AN•NM中有没有值保持不变的？若有的话，试求出此定值；若不是定值，请求出其最大值；
（3）若F是CB延长线上一点，FA交⊙O于G，当AG=8时，求sin∠AFB的值．

Answer 1

分析：（1）连接BD，由等弧对等角得∠ABC=∠ABD，故可得△ABE∽△ADB，有

AB

AE

=

AD

AB

即AB²=AE•AD；
（2）连接BM，同（1）可证△ABM∽△ANB，则有

AB

AM

=

AN

AB

即AN•AM=AB²，而AB²=AE•AD，所以AN•AM=AE•AD为定值．由相交弦定理知AN•NM=BN•CN=BN（8-BN）=-（BN-4）²+16，故由二次函数的性质知，AN•NM有最大值为16；
（3）作直径AH交BC于K，连接GH，由勾股定理可求得AK的值，由相交弦定理知AK•KH=BK•KC求得KH的值，由同角的余角相等知，∠F=∠H，从而有sinF=sinH=AG：AH而求得sinF的值．

解答：（1）证明：连接BD，
∵

AB

=

AC

，
∴∠ABC=∠ADB．
又∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB．
∴

AB

AE

=

AD

AB

．
∴AB²=AE•AD．

（2）解：连接BM，同（1）可证△ABM∽△ANB，
则

AB

AM

=

AN

AB

，
∴AN•AM=AB²．
∴AN•AM=AE•AD=5

3

(

3

3

+5

3

)=80，
即AN•AM为定值，设BN=x，则CN=（8-x），
由相交弦定理看得：AN•NM=BN•CN=x（8-x）=-x²+8x=-（x-4）²+16，（8分）
故当BN=x=4时，AN•NM有最大值为16．

（3）解：过点A作直径AH交BC于K，连接GH，
∵A是

BAC

的中点，
∴AH⊥BC，且BK=KC=4．
∴AK²=AB²-BK²=80-16=64．
∴AK=8．
又由AK•KH=BK•KC得：KH=

4×4

8

=2．
∴AH=10．
又∵∠AGH=∠BKA=90°，且∠GAH=∠KAF，
∴∠F=∠H．（11分）
∴sinF=sinH=

AG

AH

=

8

10

=

4

5

．

点评：本题利用了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，相交弦定理，二次函数的性质，直角三角形的性质，同角的余角相等，正弦的概念求解．