Question

关于x，y的方程x²+y²=208（x-y）的所有正整数解为

 

．

Answer 1

分析：先将方程配方，可知x、y是在以（104，-104）为圆心，104

2

为半径的圆上的点，然后用参数方程表示，分情况讨论．

解答：解：方法1：x²+y²=208（x-y）
x²-208x+104²+y²+208y+104²=2×104²
（x-104）²+（y+104）²=2×104²
这是一个以（104，-104）为圆心，104

2

为半径的圆，可用参数方程表示为：

x-104

104 2

=sinθ，

y+104

104 2

=cosθ
x=104

2

sinθ+104=104（

2

sinθ+1），y=104

2

cosθ-104=104（

2

cosθ-1）
x、y都是正整数，那么104（sinθ+1）和104（cosθ-1）同时为正整数
sinθ＞-

2

2

，cosθ＞

2

2

，且sinθ和cosθ值的分母是104的约数，分子是

2

的整数倍
（1）分母为2：（

2

2

A）²+（

2

2

B）²=1
A²+B²=2
A=±1，B=±1，（舍去）
（2）分母为4：（

2

4

A）²+（

2

4

B）²=1
A²+B²=8
A=±2，B=±2，（舍去）
（3）分母为8：（

2

8

A）²+（

2

8

B）²=1
A²+B²=32
A=±4，B=±4，（舍去）
（4）分母为13：（

2

13

A）²+（

2

13

B）²=1
A²+B²=

169

2

，（舍去）
（5）分母为26：（

2

26

A）²+（

2

26

B）²=1
A²+B²=338
A=±7，B=±17，或者A=±17，B=±7，（舍去）
所以x=160，y=32或者x=48，y=32符合
（6）分母为52：（

2

52

A）²+（

2

52

B）²=1
A²+B²=1352
A=±14，B=±34，或者A=±26，B=±26，（舍去）
或者A=±34，B=±14，（舍去）
所以x=160，y=32或者x=48，y=32符合．
方法2：x²+y²=208（x-y）
x²-208x+104²+y²+208y+104²=2×104²
（x-104）²+（y+104）²=2×104²
∵2×104²是偶数，（x-104），（y+104）有相同的奇偶性
∴x，y具有相同的奇偶性
∵x²+y²=208（x-y）
∴x，y均为偶数
令x=2a，y=2b，则（a-52）²+（b+52）²=2×52²，a²+b²=104（a-b）
同理，令a=2c，b=2d，则（c-26）²+（d+26）²=2×26²，c²+d²=52（c-d）
令c=2s，d=2t，则（s-13）²+（t+13）²=2×13²，（s，t为正整数）
可得正整数解只有（s-13）²=7²，（t+13）²=17²
即s=20或6，t=4
故x=8s=160或48，y=8t=32

点评：本题难度很大，属于竞赛题型，超出初中教材大纲要求．