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关于x,y的方程x2+y2=208(x-y)的所有正整数解为
 
分析:先将方程配方,可知x、y是在以(104,-104)为圆心,104
2
为半径的圆上的点,然后用参数方程表示,分情况讨论.
解答:解:方法1:x2+y2=208(x-y)
x2-208x+1042+y2+208y+1042=2×1042
(x-104)2+(y+104)2=2×1042
这是一个以(104,-104)为圆心,104
2
为半径的圆,可用参数方程表示为:
x-104
104
2
=sinθ,
y+104
104
2
=cosθ
x=104
2
sinθ+104=104(
2
sinθ+1),y=104
2
cosθ-104=104(
2
cosθ-1)
x、y都是正整数,那么104(sinθ+1)和104(cosθ-1)同时为正整数
sinθ>-
2
2
,cosθ>
2
2
,且sinθ和cosθ值的分母是104的约数,分子是
2
的整数倍
(1)分母为2:(
2
2
A)2+(
2
2
B)2=1
A2+B2=2
A=±1,B=±1,(舍去)
(2)分母为4:(
2
4
A)2+(
2
4
B)2=1
A2+B2=8
A=±2,B=±2,(舍去)
(3)分母为8:(
2
8
A)2+(
2
8
B)2=1
A2+B2=32
A=±4,B=±4,(舍去)
(4)分母为13:(
2
13
A)2+(
2
13
B)2=1
A2+B2=
169
2
,(舍去)
(5)分母为26:(
2
26
A)2+(
2
26
B)2=1
A2+B2=338
A=±7,B=±17,或者A=±17,B=±7,(舍去)
所以x=160,y=32或者x=48,y=32符合
(6)分母为52:(
2
52
A)2+(
2
52
B)2=1
A2+B2=1352
A=±14,B=±34,或者A=±26,B=±26,(舍去)
或者A=±34,B=±14,(舍去)
所以x=160,y=32或者x=48,y=32符合.
方法2:x2+y2=208(x-y)
x2-208x+1042+y2+208y+1042=2×1042
(x-104)2+(y+104)2=2×1042
∵2×1042是偶数,(x-104),(y+104)有相同的奇偶性
∴x,y具有相同的奇偶性
∵x2+y2=208(x-y)
∴x,y均为偶数
令x=2a,y=2b,则(a-52)2+(b+52)2=2×522,a2+b2=104(a-b)
同理,令a=2c,b=2d,则(c-26)2+(d+26)2=2×262,c2+d2=52(c-d)
令c=2s,d=2t,则(s-13)2+(t+13)2=2×132,(s,t为正整数)
可得正整数解只有(s-13)2=72,(t+13)2=172
即s=20或6,t=4
故x=8s=160或48,y=8t=32
点评:本题难度很大,属于竞赛题型,超出初中教材大纲要求.
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