Question

4．已知关于x的一元二次方程x²-3x+k=0有两个实数根x₁和x₂
（1）求实数k的取值范围；
（2）若|x₁-x₂|=3-x₁x₂时，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据判别式的意义得到△=（-3）²-4k≥0，然后解不等式即可得到m的范围；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=3，x₁x₂=k，再利用完全平方公式把|x₁-x₂|=3-x₁x₂转化为（x₁+x₂）²-4x₁x₂=9-6x₁x₂+（x₁x₂）²，则9-4k=9-6k+k²，然后解关于k的方程即可．

解答 解：（1）根据题意得△=（-3）²-4k≥0，
解得k≤$\frac{9}{4}$；
（2）根据题意得x₁+x₂=3，x₁x₂=k，
∵|x₁-x₂|=3-x₁x₂，
∴（x₁-x₂）²=（3-x₁x₂）²，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=9-6x₁x₂+（x₁x₂）²，
即9-4k=9-6k+k²，
整理得k²-2k=0，
解得k₁=0，k₂=2，
而k≤$\frac{9}{4}$，
∴k=0或2．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判别式的意义．