Question

【题目】在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．

（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；

（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；

（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．

Answer 1

【答案】（1）∠CC1A1=90°．

（2）S△CBC1=．

（3）最小值为：EP1=﹣2．

最大值为：EP1= 7．

【解析】

（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC1A1的度数．

（2）由旋转的性质可得：△ABC≌△A1BC1，易证得△ABA1∽△CBC1，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△CBC1的面积．

（3）由①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小；②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，即可求得线段EP1长度的最大值与最小值．

解：（1）∵由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，

∴∠CC1B=∠C1CB=45°．

∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°．

（2）∵由旋转的性质可得：△ABC≌△A1BC1，

∴BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1BC1．

∴，∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1

∴∠ABA1=∠CBC1．

∴△ABA1∽△CBC1

∴．

∵S△ABA1=4，∴S△CBC1=．

（3）过点B作BD⊥AC，D为垂足，

∵△ABC为锐角三角形，∴点D在线段AC上．

在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=．

①如图1，当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小．最小值为：EP1=BP1﹣BE=BD﹣BE=﹣2．

②如图2，当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大．最大值为：EP1=BC+BE=5+2=7．