Question

4．如图，在平面直角坐标系中，正方形OBCD的点B的坐标为（2，0），E，F分别为边BC，CD上的点，且BE=CF，连结OE，BF，交点为G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交x轴于点Q．
（1）求证：OE⊥BF；
（2）若E为BC的中点，求点Q的坐标；
（3）设点E的坐标为（2，n），点Q的坐标为（-m，0），请写出关于n的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的判定方法，判断出△BEO≌△CFB，即可判断出∠BEO=∠CFB，然后根据∠CFB+∠CBF=90°，可得∠BEO+∠CBF=90°，所以∠EGB=90°，所以OE⊥BF，据此判断即可；
（2）首先根据对折的性质，可得BP⊥FP，CP⊥BF，据此求出点P的坐标是多少，进而根据点F的坐标，确定出FP所在的直线的解析式；然后求出FP所在的直线与x轴的交点坐标是多少，即可求出点Q的坐标．
（3）首先根据点E的坐标为（2，n），BE=CF，求出点F的坐标是多少；然后确定出FQ所在的直线的解析式，进而求出点P的坐标是多少；最后根据DF∥QO，可得$\frac{DF}{QO}=\frac{DP}{OP}$，据此写出关于n的函数关系式即可．

解答 解：（1）在△BEO和△CFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=CF}\\{∠EBO=∠FCB}\\{BO=CB}\end{array}\right.$
∴△BEO≌△CFB，
∴∠BEO=∠CFB，
∵∠CFB+∠CBF=90°，
∴∠BEO+∠CBF=90°，
∴∠EGB=180°-90°=90°，
∴OE⊥BF．

（2）设点P的坐标是（a，b），
∵E为BC的中点，BE=CF，
∴F为CD的中点，
∴C（2，2），F（1，2），
∵BP⊥FP，
∴$\frac{b-0}{a-2}×\frac{b-2}{a-1}=-1$，
整理，可得
（a-1）（a-2）+b（b-2）=0…①；
∵CP⊥BF，
∴$\frac{b-2}{a-2}×\frac{2-0}{1-2}=-1$，
整理，可得
a=2b-2…②；
把②代入①，可得
b=$\frac{6}{5}$，或b=2（舍去），
∴a=2×$\frac{6}{5}-2$=$\frac{2}{5}$，
∴点P的坐标是（$\frac{2}{5}，\frac{6}{5}$），
∴FP所在的直线的解析式是：
$\frac{x-1}{x-\frac{2}{5}}=\frac{y-2}{y-\frac{6}{5}}$，
令y=0，可得
$\frac{x-1}{x-\frac{2}{5}}=\frac{-2}{-\frac{6}{5}}$，
解得x=-$\frac{1}{2}$，
∴点Q的坐标是（-$\frac{1}{2}$，0）．

（3）∵点E的坐标为（2，n），BE=CF，
∴点F的坐标是（2-n，2），
∴FQ所在的直线的解析式是：
$\frac{x-2}{x+m}=\frac{y-n}{y}$，
令x=0，解得y=$\frac{mn}{m+2}$，
∴点P的坐标是（0，$\frac{mn}{m+2}$），
∵DF∥QO，
∴$\frac{DF}{QO}=\frac{DP}{OP}$，
∴$\frac{2-n}{m}=\frac{2-\frac{mn}{m+2}}{\frac{mn}{m+2}}$，
整理，可得
n²-（m+2）n+2m+4=0．

点评 （1）此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握全等三角形的判定方法．
（3）此题还考查了点的坐标的求法，以及直线的解析式的求法，还有两条直线相互垂直的性质的应用，要熟练掌握．