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已知矩形ABCD,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O.

(1)如图①,连接AF、CE,求证四边形AFCE是菱形;
(2)求AF的长;
(3)如图②,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周,即点P自停止,点Q自停止,在运动过程中:已知点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动的时间为t秒,当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值.

(1)先证明四边形AFCE为平行四边形,再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定;根据勾股定理即可求得AF的长;(2)AF=5cm;(3)t=

解析试题分析:(1)先证明四边形AFCE为平行四边形,再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定;
(2)根据勾股定理即可求得AF的长;
(3)分情况讨论可知,当P点在BF上、Q点在ED上时,才能构成平行四边形,根据平行四边形的性质列出方程求解即可.
(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠CAD=∠ACB,∠AEF=∠CFE,
∵EF垂直平分AC,垂足为O,
∴OA=OC,
∴△AOE≌△COF,
∴OE=OF,
∴四边形AFCE为平行四边形,
又∵EF⊥AC,
∴四边形AFCE为菱形,
(2)设菱形的边长AF=CF=xcm,则BF=(8-x)cm,
在Rt△ABF中,AB=4cm,
由勾股定理得42+(8-x)2=x2
解得x=5,
∴AF=5cm;
(3)显然当P点在AF上时,Q点在CD上,此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形;
同理P点在AB上时,Q点在DE或CE上或P在BF,Q在CD时不构成平行四边形,也不能构成平行四边形.
因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时,才能构成平行四边形,

∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,PC=QA,
∵点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒,
∴PC=5t,QA=12-4t,
∴5t=12-4t,解得t=
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,t=秒.
考点:矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质
点评:本题知识点多,综合性较强,一般是中考压轴题,要注意分类思想的应用.

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