Question

已知：如图，抛物线y=ax²-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（-1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一个动点，求使与四边形ACDB面积相等的四边形ACPB的点P的坐标；
（3）求△APD的面积．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线y=ax²-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A（-1，0），代入即可求出a、c的值，即得到解析式，化成顶点式就能求出顶点坐标；
（2）连接BC，过点D作DE⊥x轴于点E，令y=0，求出B的坐标，根据点的坐标和面积公式能求出四边形ACDB和△BCD的面积，根据B、C的坐标能求出直线BC，设直线DP的函数解析式为y=-x+b，把点D（1，4）代入即可求出直线DP的函数解析式，求出y=-x+5和y=-x²+2x+3组成的方程组的解即可；
（3）根据对称得到△APD≌△BCD，根据全等三角形的性质即可得到答案．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴
交于A（-1，0）
∴

a+2a+c=0 c=3

，
解得

a=-1 c=3

，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3，
∵y=-（x²-2x）+3=-（x²-2x+1-1）+3=-（x-1）²+4，
∴顶点D的坐标为（1，4），
答：抛物线的解析式是y=-x²+2x+3，顶点D的坐标是（1，4）．

（2）解：连接BC，过点D作DE⊥x轴于点E．
令y=0则-x²+2x+3=0，
∴x₁=-1，x₂=3
∴点B的坐标为（3，0），
∴S_{四边形ACDB}=S_△AOC+S_梯形OEDC+S_△EBD=

1

2

×1×3+

1

2

×(3+4)×1+

1

2

×2×4=9
∵S△ABC=

1

2

×4×3=6
∴S_△BCD=3
∵点P是在第一象限内抛物线上的一个动点，S_{四边形ACDB}=S_{四边形ACPB}，
∴S_△BCP=S_△BCD=3，
∴点P是过D且与直线BC平行的直线和抛物线的交点，
而直线BC的函数解析式为y=-x+3，
∴设直线DP的函数解析式为y=-x+b，过点D（1，4），
∴-1+b=4，b=5，
∴直线DP的函数解析式为y=-x+5，
把y=-x+5代入y=-x²+2x+3中，解得x₁=1，x₂=2，
∴点P的坐标为（2，3），
答：与四边形ACDB面积相等的四边形ACPB的点P的坐标是（2，3）．

（3）解：∵点P与点C关于DE对称，点B与点A关于DE对称，
∴△APD≌△BCD，
∴S_△APD=S_△BCD=3，
答：△APD的面积是3．

点评：本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，解二元一次方程组，三角形的面积，全等三角形的性质和判定，二次函数与X轴的交点等知识点的理解和掌握，此题是一个拔高的题目，综合性比较强，有一定的难度．