Question

如图：已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形APEF和正方形PBGH，点O₁和O₂是这两个正方形的中心，连接O₁O₂，设O₁O₂的中点为Q；当点P从点C运动到点D时，则点Q移动路径的长是

 

．

Answer 1

考点：轨迹

专题：压轴题

分析：分别延长AO₁、BO₂交于点K，易证四边形O₁PO₂K为平行四边形，得出Q为PK中点，则Q的运行轨迹为三角形KAB的中位线MN．运用中位线的性质求出MN的长度即可．

解答：解：如图，分别延长AO₁、BO₂交于点K，

∵∠KAP=∠O₂PB=45°，
∴AK∥PO₂，
∵∠KBA=∠O₁PA=60°，
∴BK∥PO₁，
∴四边形O₁PO₂K为平行四边形，
∴O₁O₂与KP互相平分．
∵Q为O₁O₂的中点，
∴Q正好为PK中点，即在P的运动过程中，Q始终为PK的中点，所以Q的运行轨迹为三角形KAB的中位线MN．
∵AB=10，
∴MN=5，即Q的移动路径长为5．
故答案为：5．

点评：本题考查了正方形及中位线的性质，以及动点问题，是中考的热点．