Question

（2012•恩施州）如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；
（3）如果CD=15，BE=10，sinA=

5

13

，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）连接OB，有圆的半径相等和已知条件证明∠OBC=90°即可证明BC是⊙O的切线；
（2）连接OF，AF，BF，首先证明△OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数；
（3）过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，可求出EG=

1

2

BE=5，又Rt△ADE∽Rt△CGE和勾股定理求出DE=2，由Rt△ADE∽Rt△CGE求出AD的长，进而求出⊙O的半径．

解答：（1）证明：连接OB
∵OB=OA，CE=CB，
∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC
又∵CD⊥OA
∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°
∴∠OBA+∠ABC=90°
∴OB⊥BC
∴BC是⊙O的切线．

（2）解：连接OF，AF，BF，
∵DA=DO，CD⊥OA，
∴AF=OF，
∵OA=OF，
∴△OAF是等边三角形，
∴∠AOF=60°
∴∠ABF=

1

2

∠AOF=30°


（3）解：过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，
∴EG=

1

2

BE=5
又∵Rt△ADE∽Rt△CGE
∴sin∠ECG=sin∠A=

5

13

，
∴CE=

EG

sin∠ECG

=13
∴CG=

CE2-EG2

=12，
又∵CD=15，CE=13，
∴DE=2，
由Rt△ADE∽Rt△CGE得

AD

CG

=

DE

GE

∴AD=

DE

GE

•CG=

24

5

∴⊙O的半径为=2AD=

48

5

．

点评：本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质、圆周角定理以及勾股定理和相似三角形的判定和性质，题目的综合性不小，难度也不小．