如图.在平面直角坐标系中.点A的坐标是(0.3).点C在x轴负半轴上.有∠CAO=30°.点B是抛物线y=$\frac{2}{9}$x2+$\frac{\sqrt{3}}{9}$x-1上的动点．将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE.点B.C对应点分别是D.E．(1)试写出点C.E的坐标,(2)当点B在第二象限时.如图②.若直线BD⊥x轴.求△ABD的面积,(3)在点B的运动过� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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11．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点C在x轴负半轴上，有∠CAO=30°，点B是抛物线y=$\frac{2}{9}$x²+$\frac{\sqrt{3}}{9}$x-1上的动点．将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，点B，C对应点分别是D，E．
（1）试写出点C，E的坐标；
（2）当点B在第二象限时，如图②，若直线BD⊥x轴，求△ABD的面积；
（3）在点B的运动过程中，能否使得点D在坐标轴上？若能，求出所有符合条件的点B的坐标；若不能，试说明理由．

分析（1）由旋转的性质可知；AC=AE，∠CAE=60°，依据等腰三角形三线合一的性质可知OC=OE，∠CAO=30°，依据特殊锐角三角函数值可求得OC的长，从而得到点C和点E的坐标；
（2）如图1所示：过点A作AF⊥BD于点F．由旋转的性质可知：AB=AD，∠BAD=60°，依据等腰三角形三线合一的性质可知∠BAF=30°，设BF=a，则AF=$\sqrt{3}$a，于是可得到点B的坐标（用含a的式子表示），将点B的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值，由a的值可得到BD、AF的长，从而可求得△ABD的面积；
（3）当点D在y轴上时，由旋转的性质可知∠BAD=∠B′AD′=60°，于是可求得直线AB的解析式，然后求得直线AB与抛物线的交点坐标即可得出点B的坐标；当点D在x轴上时，过点B作BG⊥x轴于点G，由旋转的性质可知：∠ABC=∠ADE，接下来可证明△ABF∽△CDF，由相似三角形的性质可知∠FCD=∠BAF=60°，设CG=x，则BG=$\sqrt{3}$x，于是可求得点B的坐标（用含x的式子表示），将点B的坐标代入抛物线的解析式可求得x的值，从而求得点B的坐标．

解答解：（1）由旋转的性质可知；AC=AE，∠CAE=60°．
又∵AC=AE，AO⊥CE，
∴OC=OE，∠CAO=∠EAO=30°．
∴$\frac{OC}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$\frac{OC}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴OC=$\sqrt{3}$．
∴C（-$\sqrt{3}$，0）、E（$\sqrt{3}$，0）．
（2）如图1所示：过点A作AF⊥BD于点F．

∵AB=AD，AF⊥BD，∠BAD=60°，
∴∠BAF=30°．
设BF=a，则AF=$\sqrt{3}$a，
∵BD⊥x轴，
∴B（-$\sqrt{3}$a，a+3）．
把B（-$\sqrt{3}$a，a+3）代入y=$\frac{2}{9}$x²+$\frac{\sqrt{3}}{9}$x-1得：$\frac{2}{9}$（-$\sqrt{3}$a）²+$\frac{\sqrt{3}}{9}$（-$\sqrt{3}$a）-1=a+3，
解得：x₁=$\sqrt{7}$+1，x₂=-$\sqrt{7}$+1（舍去）．
∴BD=2a=2$\sqrt{7}$+2，AF=$\sqrt{21}$+$\sqrt{3}$．
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$BD×AF=$\frac{1}{2}$×（2$\sqrt{7}$+2）（$\sqrt{21}$+$\sqrt{3}$）=8$\sqrt{3}$+2$\sqrt{21}$．
（3）当点D在y轴上时，如图2所示：

∵由旋转的性质可知∠BAD=∠B′AD′=60°．
∴直线AB与y轴的夹角为60°，
设直线AB的解析式为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b，将点A的坐标代入得：b=3，
∴直线AB的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3．
将y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3与y=$\frac{2}{9}$x²+$\frac{\sqrt{3}}{9}$x-1联立得：$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3=$\frac{2}{9}$x²+$\frac{\sqrt{3}}{9}$x-1．
解得：x₁=-2$\sqrt{3}$，x₂=3$\sqrt{3}$，
将x=-2$\sqrt{3}$代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3得：y=1，将x=3$\sqrt{3}$代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3得：y=6，
∴B₁（-2$\sqrt{3}$，1），B₂（3$\sqrt{3}$，6）．
当点D在x轴上时，如图3所示：过点B作BG⊥x轴于点G，

由旋转的性质可知：∠ABC=∠ADE．
又∵∠AFB=∠DFC，
∴△ABF∽△CDF．
∴∠FCD=∠BAF=60°．
设CG=x，则BG=$\sqrt{3}$x．
∴点B的坐标为（-$\sqrt{3}$-x，$\sqrt{3}x$）．
将点B的坐标代入抛物线的解析式得：$\frac{2}{9}（-\sqrt{3}-x）^{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{9}$（-$\sqrt{3}$-x）-1=$\sqrt{3}$x．
∴x₁=$\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{39}}{2}$，x₂=$\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{39}}{2}$．
∴B₃（$\frac{-5\sqrt{3}-\sqrt{39}}{2}$，$\frac{9+3\sqrt{13}}{2}$）、B₄（$\frac{-5\sqrt{3}+\sqrt{39}}{2}$，$\frac{9-3\sqrt{13}}{2}$）．
综上所述，当点D在坐标轴上时，点B的坐标为B₁（-2$\sqrt{3}$，1）、B₂（3$\sqrt{3}$，6）、B₃（$\frac{-5\sqrt{3}-\sqrt{39}}{2}$，$\frac{9+3\sqrt{13}}{2}$）、B₄（$\frac{-5\sqrt{3}+\sqrt{39}}{2}$，$\frac{9-3\sqrt{13}}{2}$）．

点评本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了旋转的性质、等腰三角形三线合一的性质、特殊锐角三角函数值的应用、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，用含字母的式子表示点B的坐标是解题的关键．

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