Question

已知AB是⊙O的直径，AB＝4，点C在线段AB的延长线上运动，点D在⊙O 上运动（不与点B重合），连接CD，且CD＝OA.

(1)当OC＝时（如图），求证：CD是⊙O的切线；

（2）当OC＞时，CD所在直线与⊙O相交，设另一交点为E，连接AE.，当D为CE中点时，

求△ACE的周长;

Answer 1

解：（1）证明：连接OD，如答图①所示．

由题意可知，CD=OD=OA=AB=2，OC=，

∴OD²+CD²=OC²

由勾股定理的逆定理可知，△OCD为直角三角形，则OD⊥CD，

又∵点D在⊙O上，

∴CD是⊙O的切线

（2）解：如答图②所示，连接OE，OD，则有CD=DE=OD=OE，

∴△ODE为等边三角形，∠1=∠2=∠3=60°；

∵OD=CD，∴∠4=∠5，

∵∠3=∠4+∠5，∴∠4=∠5=30°，

∴∠EOC=∠2+∠4=90°，

因此△EOC是含30度角的直角三角形，△AOE是等腰直角三角形．

在Rt△EOC中，CE=2OA=4，OC=4cos30°=，

在等腰直角三角形AOE中，AE=OA=，

∴△ACE的周长为：

AE+CE+AC=AE+CE+（OA+OC）=+4+（2+）=6++．